ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, являющуюся прообразом при параллельном переносе на вектор \(\vec{m}(-2; 1; -3)\) точки:

1) \(O(0; 0; 0)\);

2) \(C(-2; 1; -7)\).

Для параллельного переноса точки на вектор \( \vec{m}(-2; 1; -3) \) прообраз точки \( A'(x’; y’; z’) \) находится по формуле

\( A = A’ — \vec{m} \).

1) Для точки \( O'(0; 0; 0) \):

\( O = (0 — (-2); 0 — 1; 0 — (-3)) = (2; -1; 3) \).

2) Для точки \( C'(-2; 1; -7) \):

\( C = (-2 — (-2); 1 — 1; -7 — (-3)) = (0; 0; -4) \).

При параллельном переносе на вектор \( \vec{m}(-2; 1; -3) \) прообраз точки — это исходная точка, которая при добавлении вектора \( \vec{m} \) даёт заданную точку. Если обозначить прообраз как \( A(x; y; z) \), а образ — как \( A'(x’; y’; z’) \), то связь между ними выражается формулой \( A’ = A + \vec{m} \). Чтобы найти прообраз \( A \), нужно из образа \( A’ \) вычесть вектор переноса: \( A = A’ — \vec{m} \).

1) Для точки \( O'(0; 0; 0) \) вычислим прообраз \( O \). Подставляем координаты: \( O = (0 — (-2); 0 — 1; 0 — (-3)) \). Это даёт \( O = (0 + 2; 0 — 1; 0 + 3) \), то есть \( O = (2; -1; 3) \). Таким образом, точка \( O(2; -1; 3) \) при параллельном переносе на вектор \( \vec{m} \) перемещается в точку \( O'(0; 0; 0) \).

2) Для точки \( C'(-2; 1; -7) \) находим прообраз \( C \) аналогично: \( C = (-2 — (-2); 1 — 1; -7 — (-3)) \). Это даёт \( C = (-2 + 2; 1 — 1; -7 + 3) \), то есть \( C = (0; 0; -4) \). Следовательно, точка \( C(0; 0; -4) \) при параллельном переносе на вектор \( \vec{m} \) переходит в точку \( C'(-2; 1; -7) \).

Таким образом, прообразы точек находятся путём вычитания координат вектора переноса из координат образов. Это простой способ определить исходные точки, которые при параллельном переносе на заданный вектор дают данные точки.