ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(A(-8; 4; -4)\) и \(B(5; -6; 1)\). Найдите вектор, задающий параллельный перенос, при котором:

1) образом точки \(A\) является точка \(B\);

2) образом точки \(B\) является точка \(A\).

1) Вектор параллельного переноса, при котором образом точки \(A(-8; 4; -4)\) является точка \(B(5; -6; 1)\), находится как разность координат \(B — A\):

\((5 — (-8); -6 — 4; 1 — (-4)) = (13; -10; 5)\).

2) Вектор параллельного переноса, при котором образом точки \(B(5; -6; 1)\) является точка \(A(-8; 4; -4)\), находится как разность координат \(A — B\):

\((-8 — 5; 4 — (-6); -4 — 1) = (-13; 10; -5)\).

1) Чтобы найти вектор параллельного переноса, при котором точка \(A(-8; 4; -4)\) переходит в точку \(B(5; -6; 1)\), нужно вычислить разность координат точки \(B\) и точки \(A\). Это связано с тем, что параллельный перенос перемещает все точки пространства на один и тот же вектор. Значит, данный вектор равен вектору, который «переносит» \(A\) в \(B\). Координаты этого вектора находятся по формуле \( \vec{v} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) \).

Подставляем значения: \(x_B = 5\), \(x_A = -8\), \(y_B = -6\), \(y_A = 4\), \(z_B = 1\), \(z_A = -4\). Тогда вычисляем каждую координату вектора:

\(x\)-координата: \(5 — (-8) = 5 + 8 = 13\),

\(y\)-координата: \(-6 — 4 = -10\),

\(z\)-координата: \(1 — (-4) = 1 + 4 = 5\).

Итого получаем вектор параллельного переноса \( \vec{v} = (13; -10; 5) \).

2) Аналогично, чтобы найти вектор параллельного переноса, при котором точка \(B(5; -6; 1)\) переходит в точку \(A(-8; 4; -4)\), нужно вычислить разность координат точки \(A\) и точки \(B\). Этот вектор будет направлен в обратную сторону по сравнению с первым, так как теперь перенос происходит из \(B\) в \(A\).

Используем формулу \( \vec{u} = (x_A — x_B; y_A — y_B; z_A — z_B) \).

Подставляем значения: \(x_A = -8\), \(x_B = 5\), \(y_A = 4\), \(y_B = -6\), \(z_A = -4\), \(z_B = 1\). Вычисляем координаты:

\(x\)-координата: \(-8 — 5 = -13\),

\(y\)-координата: \(4 — (-6) = 4 + 6 = 10\),

\(z\)-координата: \(-4 — 1 = -5\).

Таким образом, вектор параллельного переноса равен \( \vec{u} = (-13; 10; -5) \).

Эти векторы показывают, на сколько и в каком направлении нужно сдвинуть каждую точку пространства, чтобы получить нужное преобразование, при котором \(A\) перейдёт в \(B\), или наоборот, \(B\) перейдёт в \(A\).