ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Используя векторы, докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами в точках \(A(-4; 2; 5)\), \(B(-6; 3; 0)\), \(C(12; -8; 1)\) и \(D(14; -9; 6)\) является параллелограммом.

Для доказательства, что четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом, вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\).

Векторы:
\[
\overrightarrow{AB} = B — A = (-6 — (-4), 3 — 2, 0 — 5) = (-2, 1, -5)
\]
\[
\overrightarrow{DC} = C — D = (12 — 14, -8 — (-9), 1 — 6) = (-2, 1, -5)
\]

Так как \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), то противоположные стороны равны и параллельны.

Следовательно, четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны равны и параллельны. Векторный метод позволяет это сделать, вычислив векторы сторон и сравнив их.

Сначала найдём вектор \(\overrightarrow{AB}\). Для этого из координат точки \(B(-6; 3; 0)\) вычтем координаты точки \(A(-4; 2; 5)\):
\(\overrightarrow{AB} = ( -6 — (-4); 3 — 2; 0 — 5 ) = (-2; 1; -5)\).
Этот вектор показывает направление и длину от точки \(A\) к точке \(B\).

Аналогично найдём вектор \(\overrightarrow{DC}\). Для этого из координат точки \(C(12; -8; 1)\) вычтем координаты точки \(D(14; -9; 6)\):
\(\overrightarrow{DC} = ( 12 — 14; -8 — (-9); 1 — 6 ) = (-2; 1; -5)\).
Этот вектор показывает направление и длину от точки \(D\) к точке \(C\).

Поскольку \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), то стороны \(AB\) и \(DC\) равны по длине и параллельны. Аналогично можно проверить и другие пары сторон, но этого достаточно для доказательства, что \(ABCD\) — параллелограмм, так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, используя векторы, мы подтвердили, что четырёхугольник с заданными вершинами является параллелограммом.