ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны координаты трёх вершин параллелограмма \(ABCD\): \(A(10; -8; -1)\), \(C(-2; 4; 4)\) и \(D(11; -20; 10)\). Используя векторы, найдите координаты вершины \(B\).

Даны точки \(A(10; -8; -1)\), \(C(-2; 4; 4)\), \(D(11; -20; 10)\).

Параллелограмм: \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \).

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB} = (x — 10; y + 8; z + 1)\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{DC} = (-2 — 11; 4 + 20; 4 — 10) = (-13; 24; -6)\).

Приравниваем компоненты:

\(x — 10 = -13\),

\(y + 8 = 24\),

\(z + 1 = -6\).

Решаем:

\(x = -3\),

\(y = 16\),

\(z = -7\).

Ответ: \(B(-3; 16; -7)\).

Даны точки \(A(10; -8; -1)\), \(C(-2; 4; 4)\) и \(D(11; -20; 10)\), которые являются вершинами параллелограмма \(ABCD\). Чтобы найти координаты точки \(B\), необходимо использовать геометрическое свойство параллелограмма: векторы, образующие его стороны, равны по модулю и направлению, то есть вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен вектору \( \overrightarrow{DC} \). Это значит, что если мы выразим координаты этих векторов, то они должны совпадать.

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) определяется как разность координат точки \(B(x; y; z)\) и точки \(A(10; -8; -1)\), то есть \( \overrightarrow{AB} = (x — 10; y + 8; z + 1) \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{DC} \) определяется как разность координат точки \(C(-2; 4; 4)\) и точки \(D(11; -20; 10)\), то есть \( \overrightarrow{DC} = (-2 — 11; 4 — (-20); 4 — 10) \). Производим вычисления для \( \overrightarrow{DC} \): \( -2 — 11 = -13 \), \( 4 — (-20) = 24 \), \( 4 — 10 = -6 \), следовательно, \( \overrightarrow{DC} = (-13; 24; -6) \).

Приравнивая компоненты векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \), получаем систему уравнений:

\(x — 10 = -13\),

\(y + 8 = 24\),

\(z + 1 = -6\).

Решая каждое уравнение по отдельности, находим координаты точки \(B\):

\(x = -13 + 10 = -3\),

\(y = 24 — 8 = 16\),

\(z = -6 — 1 = -7\).

Таким образом, координаты вершины \(B\) параллелограмма равны \(B(-3; 16; -7)\).