ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Модуль вектора \(\vec{c}(x; y; z)\) равен 9, его координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа. Найдите координаты вектора \(\vec{c}\).

Модуль вектора \( \vec{c}(x; y; z) \) равен 9, координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа.

Так как \(y = -x\) и \(z = x\), то модуль вектора:

\(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = 9\).

Отсюда:

\(\sqrt{3} |x| = 9\),

\(3x^2 = 81\),

\(x^2 = 27\),

\(x = 3 \sqrt{3}\).

Тогда координаты вектора:

\(\vec{c} = (3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})\) или \(\vec{c} = (-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})\).

2.23. Модуль вектора \( \vec{c}(x; y; z) \) равен 9. Из условия известно, что координаты \(x\) и \(z\) равны, а координаты \(x\) и \(y\) — противоположные числа. Это значит, что если \(x = a\), то \(z = a\), а \(y = -a\). Таким образом, вектор можно записать как \( \vec{c}(a; -a; a) \).

Модуль вектора вычисляется по формуле \( |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Подставим наши выражения: \( |\vec{c}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} \). По условию модуля вектора \( |\vec{c}| = 9 \), значит, \( \sqrt{3a^2} = 9 \).

Возведём обе части равенства в квадрат: \( 3a^2 = 81 \). Разделим обе части на 3: \( a^2 = \frac{81}{3} = 27 \). Теперь найдём \(a\): \( a = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \). Таким образом, \(x = 3 \sqrt{3}\), \(y = -3 \sqrt{3}\), \(z = 3 \sqrt{3}\).

Итоговые координаты вектора \( \vec{c} \) равны \( (3 \sqrt{3}; -3 \sqrt{3}; 3 \sqrt{3}) \). Поскольку знак \(a\) может быть отрицательным, существует второй вариант с противоположными знаками: \( (-3 \sqrt{3}; 3 \sqrt{3}; -3 \sqrt{3}) \). Это соответствует тому, что вектор может быть направлен в противоположную сторону, сохраняя те же условия по координатам и модулю.