ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что компланарны векторы:

1) \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\);

2) \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{D_1B}\) и \(\overrightarrow{CC_1}\).

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

1) Векторы \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \) компланарны, так как

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}\),

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\),

а \( \overrightarrow{A_1B_1} \) параллелен \( \overrightarrow{AB} \), следовательно все они лежат в плоскости, образованной соответствующими сторонами параллелепипеда.

2) Векторы \( \overrightarrow{DB_1} \), \( \overrightarrow{D_1B} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \) компланарны, так как

\(\overrightarrow{DB_1} = \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{D_1B_1}\),

\(\overrightarrow{D_1B} = — \overrightarrow{BD_1}\),

и \( \overrightarrow{CC_1} \) параллелен \( \overrightarrow{DD_1} \),

все они лежат в плоскости, проходящей через ребра параллелепипеда.

1) Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \). Параллелепипед задаётся точками \( A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 \), где \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — вершины, расположенные над основаниями \( A, B, C, D \). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{DC} \), то есть \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{BD} \) равен сумме \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CD} \), то есть \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \). Вектор \( \overrightarrow{A_1B_1} \) параллелен вектору \( \overrightarrow{AB} \) и лежит в плоскости, параллельной основанию параллелепипеда. Поскольку все эти векторы выражаются через комбинации векторов, лежащих в одной плоскости, они компланарны.

2) Теперь рассмотрим векторы \( \overrightarrow{DB_1} \), \( \overrightarrow{D_1B} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \). Вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) можно разложить на сумму векторов \( \overrightarrow{DD_1} \) и \( \overrightarrow{D_1B_1} \), где \( \overrightarrow{DD_1} \) — высота параллелепипеда, а \( \overrightarrow{D_1B_1} \) лежит в плоскости верхнего основания. Вектор \( \overrightarrow{D_1B} \) является обратным к \( \overrightarrow{BD_1} \), то есть \( \overrightarrow{D_1B} = -\overrightarrow{BD_1} \), и также связан с ребрами параллелепипеда. Вектор \( \overrightarrow{CC_1} \) параллелен \( \overrightarrow{DD_1} \) и направлен вдоль высоты. Все три вектора находятся в плоскости, проходящей через ребра параллелепипеда, поэтому они компланарны.

3) Компланарность векторов означает, что существует плоскость, в которой одновременно лежат все три вектора. В обоих случаях доказано, что каждый из рассматриваемых векторов можно представить как линейную комбинацию других векторов, лежащих в одной плоскости. Это подтверждает, что векторы из пунктов 1 и 2 действительно компланарны, то есть они не выходят за пределы одной плоскости. Таким образом, доказана компланарность указанных векторов параллелепипеда.