ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Докажите, что компланарны векторы:

1) \(\overrightarrow{B_1C_1}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\);

2) \(\overrightarrow{CB_1}\), \(\overrightarrow{C_1B}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

Дано: треугольная призма \( ABC A_1 B_1 C_1 \).

1) Векторы \( \overrightarrow{B_1 C_1}, \overrightarrow{A B_1} \) и \( \overrightarrow{A C_1} \).

Рассмотрим базисные векторы ребер призмы:
\( \overrightarrow{B_1 C_1} = \overrightarrow{e_d} \),
\( \overrightarrow{A B_1} = \overrightarrow{e_d} + \overrightarrow{e_B} \),
\( \overrightarrow{A C_1} = \overrightarrow{e_d} + \overrightarrow{e_K} \).

Все три вектора лежат в плоскости, образованной векторами \( \overrightarrow{e_d}, \overrightarrow{e_B}, \overrightarrow{e_K} \), следовательно, они компланарны.

2) Векторы \( \overrightarrow{C B_1}, \overrightarrow{C_1 B}, \overrightarrow{A A_1} \).

Запишем:
\( \overrightarrow{C B_1} = \overrightarrow{e_C} + \overrightarrow{e_B} + \overrightarrow{e_d} \),
\( \overrightarrow{C_1 B} = \overrightarrow{e_C} — \overrightarrow{e_B} + \overrightarrow{e_d} \),
\( \overrightarrow{A A_1} = \overrightarrow{e_d} \).

Векторы выражаются через линейные комбинации базисных векторов с общим вектором \( \overrightarrow{e_d} \), значит, они также компланарны.

1) Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{B_1 C_1} \), \( \overrightarrow{A B_1} \) и \( \overrightarrow{A C_1} \) в треугольной призме \( ABC A_1 B_1 C_1 \). Вектор \( \overrightarrow{B_1 C_1} \) лежит на верхнем основании призмы и направлен вдоль ребра \( B_1 C_1 \). Пусть этот вектор обозначим как \( \overrightarrow{e_d} \). Вектор \( \overrightarrow{A B_1} \) соединяет вершину \( A \) нижнего основания с вершиной \( B_1 \) верхнего основания, поэтому его можно представить как сумму вектора \( \overrightarrow{e_d} \) и некоторого вектора \( \overrightarrow{e_B} \), лежащего в плоскости основания. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{A C_1} \) можно представить как сумму \( \overrightarrow{e_d} \) и другого вектора \( \overrightarrow{e_K} \), также лежащего в плоскости основания.

Таким образом, все три вектора выражаются через комбинации векторов \( \overrightarrow{e_d} \), \( \overrightarrow{e_B} \) и \( \overrightarrow{e_K} \), которые принадлежат одной плоскости. Это означает, что векторы \( \overrightarrow{B_1 C_1} \), \( \overrightarrow{A B_1} \) и \( \overrightarrow{A C_1} \) лежат в одной плоскости, то есть они компланарны.

2) Теперь рассмотрим векторы \( \overrightarrow{C B_1} \), \( \overrightarrow{C_1 B} \) и \( \overrightarrow{A A_1} \). Вектор \( \overrightarrow{C B_1} \) можно разложить на сумму векторов, направленных вдоль ребер призмы: \( \overrightarrow{e_C} \), \( \overrightarrow{e_B} \) и \( \overrightarrow{e_d} \). Аналогично, \( \overrightarrow{C_1 B} \) выражается как \( \overrightarrow{e_C} — \overrightarrow{e_B} + \overrightarrow{e_d} \), а вектор \( \overrightarrow{A A_1} \) совпадает с вектором \( \overrightarrow{e_d} \), направленным вдоль высоты призмы.

Все три вектора можно представить как линейные комбинации одних и тех же базисных векторов \( \overrightarrow{e_C} \), \( \overrightarrow{e_B} \) и \( \overrightarrow{e_d} \). Поскольку они выражаются через три вектора, среди которых один общий (высота призмы), то эти векторы лежат в плоскости, образованной этими базисными векторами, следовательно, они компланарны.