ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(E\) и \(F\) — середины соответственно рёбер \(AA_1\) и \(AD\) прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 2.11), \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\). Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором \(\overrightarrow{EF}\);

2) противоположно направлены с вектором \(\overrightarrow{AB}\);

3) имеют равные модули с вектором \(\overrightarrow{BC_1}\).

Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AA_1\) и \(AD\).

1) Вектор \( \overrightarrow{EF} \) сонаправлен с вектором \( \overrightarrow{A_1B} \).

2) Вектор, противоположно направленный вектору \( \overrightarrow{AB} \), это \( \overrightarrow{B A} \).

3) Вектор, равный по модулю вектору \( \overrightarrow{BC_1} \), например, \( \overrightarrow{D C_1} \).

1) Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AA_1\) и \(AD\) соответственно. Значит, вектор \( \overrightarrow{EF} \) соединяет середины этих рёбер. Рассмотрим координаты точек, если принять \(A\) за начало координат. Тогда \(E\) — середина \(AA_1\), значит координаты \(E\) равны половине координат \(A_1\), а \(F\) — середина \(AD\), значит координаты \(F\) равны половине координат \(D\). Вектор \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} — \overrightarrow{OE} \). Поскольку \( \overrightarrow{A_1B} \) — вектор, параллельный ребру \(A_1B\), а ребра параллелепипеда параллельны, вектор \( \overrightarrow{EF} \) будет сонаправлен с \( \overrightarrow{A_1B} \).

2) Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен от точки \(A\) к точке \(B\). Вектор, противоположный \( \overrightarrow{AB} \), будет иметь ту же длину, но направлен в обратную сторону, то есть от \(B\) к \(A\). Такой вектор обозначается как \( \overrightarrow{BA} \). Он равен по модулю вектору \( \overrightarrow{AB} \), но противоположен по направлению. Это свойство векторов: противоположно направленные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.

3) Вектор \( \overrightarrow{BC_1} \) соединяет вершину \(B\) с вершиной \(C_1\). Чтобы найти вектор с равным модулем, нужно выбрать вектор, длина которого совпадает с длиной \( \overrightarrow{BC_1} \). В параллелепипеде длина ребра \(BC_1\) равна длине ребра \(DC_1\), так как эти ребра параллельны и равны по длине. Следовательно, вектор \( \overrightarrow{DC_1} \) имеет такой же модуль, как и \( \overrightarrow{BC_1} \).