ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.

Даны две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см, радиус окружности \( R = 25 \) см.

1. Найдём расстояние от центра окружности до каждой хорды.
Для хорды длиной 30 см половина хорды \( KO = \frac{30}{2} = 15 \) см.
По теореме Пифагора:
\( OK = \sqrt{R^2 — KO^2} = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = 20 \) см.

2. Для хорды длиной 48 см половина хорды \( ON = \frac{48}{2} = 24 \) см.
Расстояние от центра до этой хорды:
\( ON = \sqrt{R^2 — ON^2} = \sqrt{625 — 576} = 7 \) см.

3. Расстояние между хордами равно сумме расстояний от центра до каждой хорды:
\( KI = OK + ON = 20 + 7 = 27 \) см.

1. В задаче даны две хорды окружности, расположенные по одну сторону от центра, с длинами 30 см и 48 см, а также радиус окружности \( R = 25 \) см. Чтобы найти расстояние между этими хордами, сначала определим расстояния от центра окружности до каждой из них. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности, и расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду.

Для первой хорды длиной 30 см половина хорды равна \( KO = \frac{30}{2} = 15 \) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра к хорде. По теореме Пифагора: квадрат радиуса равен сумме квадратов половины хорды и расстояния от центра до хорды. Запишем это как \( OK = \sqrt{R^2 — KO^2} \). Подставляя значения, получаем \( OK = \sqrt{25^2 — 15^2} = \sqrt{625 — 225} = \sqrt{400} = 20 \) см. Это расстояние от центра окружности до первой хорды.

2. Аналогично рассчитаем расстояние от центра до второй хорды длиной 48 см. Половина этой хорды равна \( ON = \frac{48}{2} = 24 \) см. Используем ту же формулу: \( ON = \sqrt{R^2 — ON^2} \). Подставляя значения: \( ON = \sqrt{25^2 — 24^2} = \sqrt{625 — 576} = \sqrt{49} = 7 \) см. Таким образом, расстояние от центра до второй хорды меньше, чем до первой, что логично, так как вторая хорда длиннее и расположена ближе к центру.

3. Поскольку хорды параллельны и находятся по одну сторону от центра, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды. Это связано с тем, что перпендикуляры, опущенные из центра, лежат на одной прямой, и расстояние между хордами — это сумма этих перпендикуляров. Следовательно, расстояние между хордами равно \( KI = OK + ON = 20 + 7 = 27 \) см. Таким образом, искомое расстояние между двумя параллельными хордами длиной 30 см и 48 см в окружности радиусом 25 см равно 27 см.