ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна \(H\), а осевое сечение цилиндра является квадратом. Найдите объём цилиндра.

Так как осевое сечение цилиндра — квадрат, его сторона равна диаметру основания цилиндра и одновременно равна высоте цилиндра: \(2r=H\Rightarrow r=\frac{H}{2}\).

Объём цилиндра: \(V=\pi r^{2}H=\pi\left(\frac{H}{2}\right)^{2}H=\pi\frac{H^{2}}{4}H=\frac{\pi H^{3}}{4}\).

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через ось цилиндра. Если оно является квадратом, то одна его сторона совпадает с высотой цилиндра, а другая — с диаметром основания. Следовательно, квадрат имеет сторону, одновременно равную высоте и диаметру цилиндра: \(2r=H\). Это означает, что радиус основания напрямую выражается через высоту: \(r=\frac{H}{2}\). Такой вывод опирается на геометрию осевого сечения: прямоугольник, получаемый при разрезе через ось, в общем случае имеет стороны \(H\) и \(2r\), а условие «квадрат» требует их равенства.

Далее используем стандартную формулу объёма цилиндра, которая связывает площадь круглого основания с высотой тела: \(V=\pi r^{2}H\). Подставим найденный радиус \(r=\frac{H}{2}\) в эту формулу. Сначала возведём радиус в квадрат: \(r^{2}=\left(\frac{H}{2}\right)^{2}=\frac{H^{2}}{4}\). Затем умножим на высоту \(H\): \(V=\pi\cdot\frac{H^{2}}{4}\cdot H\). Получаем выражение, в котором все величины представлены через высоту \(H\); остаётся аккуратно выполнить перемножение степеней \(H\).

Соберём множители и запишем итог: \(V=\pi\frac{H^{2}}{4}H=\frac{\pi H^{3}}{4}\). Здесь степень \(H^{3}\) возникает как результат умножения \(H^{2}\) на дополнительный множитель \(H\). Таким образом, объём цилиндра полностью определяется его высотой, если осевое сечение — квадрат: \(V=\frac{\pi H^{3}}{4}\).