ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Объём шара с радиусом \(r\) равен \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Пусть радиусы двух шаров равны \(r_{1}\) и \(r_{2}\), тогда их объёмы: \(V_{1}=\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}\) и \(V_{2}=\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}\).

Отношение объёмов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\). Следовательно, объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Объём шара определяется известной геометрической формулой \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\), где \(r\) — радиус шара, \(\pi\) — постоянная, а показатель степени \(3\) отражает трёхмерность пространства: при увеличении линейного размера в \(k\) раз объём масштабируется в \(k^{3}\) раз. Пусть даны два шара с радиусами \(r_{1}\) и \(r_{2}\). Тогда их объёмы соответственно равны \(V_{1}=\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}\) и \(V_{2}=\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}\). Здесь одинаковые множители \(\frac{4}{3}\pi\) возникают из интегрального или стереометрического вывода формулы объёма шара и не зависят от конкретного радиуса.

Чтобы сравнить объёмы, рассмотрим их отношение: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}}\). Общий множитель \(\frac{4}{3}\pi\) сокращается, так как он одинаков в числителе и знаменателе, после чего остаётся \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\). Используя свойство степеней \(\frac{a^{3}}{b^{3}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{3}\) при \(b\neq 0\), преобразуем полученное выражение к виду \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\). Это равенство строго показывает, что масштабный коэффициент между объёмами равен кубу масштабного коэффициента между радиусами.

Интерпретация результата такова: если радиус первого шара в \(k\) раз больше радиуса второго, то есть \(r_{1}=k\,r_{2}\), то отношение объёмов становится \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=k^{3}\). Следовательно, объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов, что согласуется как с формулой \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\), так и с общим принципом масштабирования в трёх измерениях.