ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объёмы двух шаров относятся как 8 : 125. Найдите отношение их радиусов.

Объём шара выражается как \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\).

По условию \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{8}{125}\), значит \(\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\frac{8}{125}\). Тогда \(\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{5}\).

Ответ: \(\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{5}\).

Объём шара зависит от радиуса по кубическому закону: \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Это означает, что если радиус увеличивается во сколько‑то раз, то объём увеличивается в куб этого числа. Поэтому при сравнении двух шаров с радиусами \(r_{1}\) и \(r_{2}\) отношение их объёмов можно выразить через отношение радиусов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\). Общий коэффициент \(\frac{4}{3}\pi\) сокращается, остаётся только куб отношения радиусов, что является ключевым шагом решения.

По условию известно численное отношение объёмов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{8}{125}\). Подставим это в найденную связь: \(\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\frac{8}{125}\). Заметим, что числа \(8\) и \(125\) являются кубами целых чисел: \(8=2^{3}\) и \(125=5^{3}\). Следовательно, отношение кубов можно записать как \(\frac{2^{3}}{5^{3}}\), что естественно указывает на то, что само отношение радиусов равно \(\frac{2}{5}\), поскольку если \(x^{3}=\frac{2^{3}}{5^{3}}\), то \(x=\frac{2}{5}\).

Таким образом, окончательно получаем \(\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{5}\). Интерпретация результата: первый шар имеет радиус, который в \(\frac{2}{5}\) раза меньше радиуса второго, а их объёмы относятся как куб этого числа, то есть \(\frac{8}{125}\), что согласуется с условием задачи.