ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Найдите объём шара, описанного около куба, ребро которого равно \(a\).

Диагональ куба: \(d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}\).

Радиус описанного шара: \(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Объём шара: \(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}\,a^3}{8}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}\).

Начнём с геометрии куба: его пространственная диагональ соединяет два противоположных вершины и проходит через центр куба. Для ребра длины \(a\) каждая из трёх взаимно перпендикулярных сторон, составляющих диагональ, имеет длину \(a\). По теореме Пифагора в трёх измерениях длина пространственной диагонали равна \(d=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\). Эта диагональ является диаметром описанного шара, поскольку шар проходит через все вершины куба и его центр совпадает с центром куба. Следовательно, радиус описанного шара равен половине диагонали: \(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Далее используем формулу объёма шара через радиус. Объём шара выражается формулой \(V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\). Подставим найденный радиус: \(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\). Возведём в третью степень дробь: \(\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{a^{3}\left(\sqrt{3}\right)^{3}}{2^{3}}=\frac{a^{3}\cdot 3\sqrt{3}}{8}\), так как \((\sqrt{3})^{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\) и \(2^{3}=8\). Теперь умножим на коэффициент \(\frac{4}{3}\pi\): \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{3\sqrt{3}\,a^{3}}{8}\).

Сократим множители: тройки \(\frac{4}{3}\cdot 3\) дают \(4\), а знаменатель \(8\) вместе с числителем \(4\) даёт \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\). В результате получаем компактную формулу объёма шара, описанного вокруг куба: \(V=\frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{2}\). Эта величина выражает зависимость объёма шара только от ребра куба \(a\): чем больше ребро, тем больше диагональ, а значит больше радиус и объём шара, причём объём растёт пропорционально \(a^{3}\).