ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём шара, вписанного в куб, ребро которого равно \(a\).

Радиус вписанного шара равен половине ребра куба: \(R=\frac{a}{2}\).

Объём шара: \(V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{a^{3}}{8}=\frac{\pi a^{3}}{6}\).

Шар вписан в куб означает, что он касается всех шести граней куба изнутри. Центр шара совпадает с центром куба, а расстояние от центра до любой грани равно радиусу шара. Поскольку расстояние между двумя параллельными гранями равно ребру куба \(a\), диаметр шара равен \(a\). Отсюда радиус равен половине ребра: \(R=\frac{a}{2}\). Эта связь следует из того, что от одной грани до противоположной проходит именно диаметр, проходящий через центр.

Формула объема шара задается как \(V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\). Подставляем найденный радиус \(R=\frac{a}{2}\) в формулу. Возводя радиус в куб, получаем \(\left(\frac{a}{2}\right)^{3}=\frac{a^{3}}{2^{3}}=\frac{a^{3}}{8}\). Это ключевой шаг: объем шара зависит от куба радиуса, поэтому важно аккуратно возвести дробь в степень, возводя в куб и числитель, и знаменатель.

Теперь вычислим объем: \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{a^{3}}{8}\). Сокращаем множители \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), получаем \(V=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi a^{3}}{3}=\frac{\pi a^{3}}{6}\). Итоговая формула показывает, что объем шара, вписанного в куб с ребром \(a\), пропорционален \(a^{3}\) и равен половине объема шара с радиусом \(a\) деленного на \(3\), то есть \(V=\frac{\pi a^{3}}{6}\).