ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Свинцовая труба, толщина стенки которой равна 4 мм, имеет внутренний диаметр 32 мм. Плотность свинца равна 11 400 кг/м\(^3\). Сколько килограммов составляет масса трубы, если её длина равна 15 м? Ответ округлите до единиц.

Внутренний радиус: \(r_1=\frac{32\,\text{мм}}{2}=16\,\text{мм}=0{,}016\,\text{м}\). Толщина стенки: \(t=4\,\text{мм}=0{,}004\,\text{м}\), внешний радиус: \(r_2=r_1+t=0{,}020\,\text{м}\).

Объём свинца: \(V=\pi h\,(r_2^2-r_1^2)=\pi\cdot 15\,(0{,}020^2-0{,}016^2)\,\text{м}^3\).

Масса: \(m=\rho V=11400\cdot \pi\cdot 15\,(0{,}020^2-0{,}016^2)\,\text{кг}\approx 77\,\text{кг}\).

Сначала переводим размеры в метры, чтобы работать в СИ. Внутренний диаметр \(32\,\text{мм}\) даёт внутренний радиус \(r_1=\frac{32\,\text{мм}}{2}=16\,\text{мм}=0{,}016\,\text{м}\). Толщина стенки \(4\,\text{мм}=0{,}004\,\text{м}\), поэтому внешний радиус \(r_2=r_1+t=0{,}016+0{,}004=0{,}020\,\text{м}\). Длина трубы \(h=15\,\text{м}\). Плотность свинца дана \(\rho=11400\,\text{кг}\,\text{м}^{-3}\). Мы рассматриваем трубу как цилиндрическую оболочку: её объём равен разности объёмов двух соосных цилиндров с одинаковой высотой, но разными радиусами.

Объём материала трубы вычисляется как разность: \(V=\pi h\,(r_2^2-r_1^2)\). Подставим численные значения радиусов и длины: \(r_2^2=(0{,}020)^{2}=0{,}0004\,\text{м}^2\) и \(r_1^2=(0{,}016)^{2}=0{,}000256\,\text{м}^2\). Тогда разность площадей сечений равна \(r_2^2-r_1^2=0{,}0004-0{,}000256=0{,}000144\,\text{м}^2\). Умножая на длину и \(\pi\), получаем объём: \(V=\pi\cdot 15\cdot 0{,}000144\approx 3{,}14\cdot 15\cdot 0{,}000144\approx 0{,}00678\,\text{м}^3\). Это и есть геометрический объём свинца, из которого изготовлена труба.

Масса находится по связи между плотностью, объёмом и массой: \(m=\rho V\). Подставляем плотность и найденный объём: \(m=11400\cdot \pi\cdot 15\,(0{,}020^{2}-0{,}016^{2})\approx 11400\cdot 0{,}00678\approx 77{,}4\,\text{кг}\). Округляя до целых по условию, получаем \(m\approx 77\,\text{кг}\).