ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Радиус шара равен 8 см, а высота его сегмента — 3 см. Найдите: 1) объём сегмента; 2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту.

Дано: \(R=8\text{ см}\), \(h=3\text{ см}\).

1) Объем шарового сегмента: используем формулу \(V_{\text{сег}}=\pi h^{2}\!\left(R-\frac{h}{3}\right)\).
Подставим: \(V_{\text{сег}}=\pi\cdot 3^{2}\!\left(8-\frac{3}{3}\right)=\pi\cdot 9\cdot 7=63\pi\ \text{см}^{3}\).

2) Объем соответствующего шарового сектора: \(V_{\text{сектора}}=\frac{2}{3}\pi R^{2}h\).
Подставим: \(V_{\text{сектора}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 8^{2}\cdot 3=\frac{2}{3}\pi\cdot 64\cdot 3=128\pi\ \text{см}^{3}\).

Дано: \(R=8\text{ см}\) — радиус шара, \(h=3\text{ см}\) — высота шарового сегмента. Шаровой сегмент получается при отсечении шара плоскостью: его объём выражается через радиус шара и высоту сегмента формулой \(V_{\text{сег}}=\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)\). Эта формула складывается из объёма цилиндра, вписанного над кругом отсечения, и корректировки на доли объёмов двух сферических колпачков; в результате получается точная зависимость, в которой квадрат высоты \(h^{2}\) отвечает площади круга сечения, а скобка \(R-\frac{h}{3}\) корректирует «среднюю толщину» сегмента. Подставляя значения, получаем \(V_{\text{сег}}=\pi\cdot 3^{2}\left(8-\frac{3}{3}\right)=\pi\cdot 9\cdot 7=63\pi\ \text{см}^{3}\). Численно это означает, что при высоте сегмента \(3\text{ см}\) и фиксированном радиусе \(8\text{ см}\) объём составляет \(63\pi\text{ см}^{3}\), что согласуется с тем, что высота мала по сравнению с радиусом и объём пропорционален \(h^{2}\).

Шаровой сектор — это тело, образованное всеми радиусами, проведёнными из центра шара к кругу отсечения данного сегмента; его объём зависит от той же геометрии сечения и выражается через радиус шара и высоту сегмента формулой \(V_{\text{сектора}}=\frac{2}{3}\pi R^{2}h\). Эту формулу можно понимать как объём «клина» шара: множитель \(\frac{2}{3}\pi\) возникает из интегрирования по радиусам, \(R^{2}\) отражает площадь сферической поверхности на уровне радиуса, а \(h\) — линейную меру протяжённости сектора вдоль оси. Подстановка конкретных чисел даёт \(V_{\text{сектора}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 8^{2}\cdot 3=\frac{2}{3}\pi\cdot 64\cdot 3=128\pi\ \text{см}^{3}\). Заметим, что здесь объём линейно зависит от \(h\), поэтому при том же радиусе увеличение высоты вдвое удвоило бы объём сектора.

Сравнение результатов показывает разную зависимость: для сегмента объём растёт как \(h^{2}\) при фиксированном \(R\), тогда как для сектора — как \(h\). Это отражает различие геометрии: сегмент — «пластинка» возле плоскости отсечения, где важна площадь круга и средняя толщина, а сектор включает все радиусы к этому кругу, охватывая «радиальный» объём. При \(R=8\text{ см}\) и \(h=3\text{ см}\) получаем итоги: \(V_{\text{сег}}=63\pi\ \text{см}^{3}\) и \(V_{\text{сектора}}=128\pi\ \text{см}^{3}\). Эти значения согласуются с эталонными формулами и демонстрируют, что сектор для того же сечения имеет больший объём, поскольку включает всю «пирамиду» радиусов от центра до круга отсечения, а сегмент лишь часть возле плоскости.