ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объём шарового сегмента равен \(360\pi\) см\(^3\), а его высота равна 6 см. Найдите: 1) радиус шара; 2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту.

Дан шаровой сегмент с объёмом \(V_{\text{сег}}=360\pi\) см\(^3\) и высотой \(h=6\) см. Формула объёма сегмента: \(V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\). Подставим: \(360\pi=\pi\cdot 36\left(R-2\right)\Rightarrow 360=36(R-2)\Rightarrow R-2=10\Rightarrow R=12\) см.

Объём соответствующего шарового сектора: \(V_{\text{сектор}}=\frac{2}{3}\pi R^2 h\). Подставим \(R=12\), \(h=6\): \(V_{\text{сектор}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 144\cdot 6=576\pi\) см\(^3\).

1) Пусть дан шаровой сегмент, полученный сечением шара плоскостью на расстоянии от вершины сегмента, и его высота равна \(h=6\) см. Для объёма шарового сегмента используется стандартная формула \(V_{\text{сег}}=\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)\), где \(R\) — радиус шара. Подставим известные величины: \(V_{\text{сег}}=360\pi\) см\(^3\) и \(h=6\) см. Тогда имеем уравнение \(360\pi=\pi\cdot 6^{2}\left(R-\frac{6}{3}\right)\). Сократим общий множитель \(\pi\) и вычислим квадрат высоты: \(360=36\left(R-2\right)\). Разделим обе части на \(36\): \(10=R-2\). Отсюда находим радиус шара \(R=12\) см, что согласуется с тем, что высота сегмента меньше диаметра, а выражение в скобках положительно.

2) Чтобы найти объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту, применим формулу связи объёма сектора с радиусом шара и высотой сегмента: \(V_{\text{сектор}}=\frac{2}{3}\pi R^{2}h\). Эта формула получается из объёма конусообразной части в сферической геометрии и учитывает, что сектор ограничен частью радиусов, проходящих через окружность основания сегмента. Подставим найденный радиус \(R=12\) см и высоту \(h=6\) см: \(V_{\text{сектор}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 12^{2}\cdot 6\). Сначала вычислим квадрат радиуса: \(12^{2}=144\). Затем перемножим: \(144\cdot 6=864\). Умножим на коэффициент \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3}\cdot 864=576\). Получаем \(V_{\text{сектор}}=576\pi\) см\(^3\).

3) Итак, радиус шара определяется напрямую из уравнения для объёма сегмента: поэтапное преобразование \(360\pi=\pi\cdot 36\left(R-2\right)\) даёт \(R=12\) см. Далее объём шарового сектора вычисляется по формуле, зависящей от \(R\) и \(h\): \(V_{\text{сектор}}=\frac{2}{3}\pi R^{2}h\). Подстановка значений приводит к точному численному результату \(576\pi\) см\(^3\). Таким образом, искомые величины: радиус шара \(R=12\) см, объём шарового сектора \(V_{\text{сектор}}=576\pi\) см\(^3\).