ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна \(10\sqrt{5}\) см, а радиус основания цилиндра — 13 см. Найдите объём цилиндра.

Сечение параллельно оси цилиндра — прямоугольник с высотой \(h\) и шириной \(2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\), где \(r=13\) — радиус, \(d=12\) — расстояние от плоскости до оси. Диагональ равна \(10\sqrt{5}\).

По теореме Пифагора для диагонали: \((10\sqrt{5})^{2}=h^{2}+\left(2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\right)^{2}\). Имеем \(500=h^{2}+4(r^{2}-d^{2})=h^{2}+4(169-144)=h^{2}+100\), откуда \(h=20\).

Объём цилиндра: \(V=\pi r^{2}h=\pi\cdot 13^{2}\cdot 20=3380\pi\ \text{см}^{3}\).

Рассматриваем цилиндр радиуса \(r=13\) см и высоты \(h\), который пересечён плоскостью, параллельной оси цилиндра и на расстоянии \(d=12\) см от оси. Такое сечение даёт прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра \(h\), а другая — хорда круга основания, удалённая от центра на \(d\). Полуширина этой хорды равна \(x=\sqrt{r^{2}-d^{2}}\), так как в основании образуется прямоугольный треугольник с катетами \(x\) и \(d\) и гипотенузой \(r\). Следовательно, полная ширина сечения равна \(2x=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\).

По условию диагональ полученного прямоугольника равна \(10\sqrt{5}\) см. Обозначим ширину через \(w=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\). Тогда по теореме Пифагора для прямоугольника выполняется \( \left(10\sqrt{5}\right)^{2}=h^{2}+w^{2}\). Вычислим ширину: \(w=2\sqrt{13^{2}-12^{2}}=2\sqrt{169-144}=2\sqrt{25}=10\) см, значит \(w^{2}=100\). Подставляя в равенство для диагонали, получаем \(500=h^{2}+100\), откуда \(h^{2}=400\) и \(h=20\) см, так как геометрически высота положительна.

Искомый объём цилиндра равен объёму кругового цилиндра \(V=\pi r^{2}h\). Подставляя найденные значения, получаем \(V=\pi\cdot 13^{2}\cdot 20=\pi\cdot 169\cdot 20=3380\pi\) \(\text{см}^{3}\). Таким образом, ключевые шаги: интерпретировать параллельное оси сечение как прямоугольник, выразить его ширину через хорду \(2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\), применить теорему Пифагора к диагонали для нахождения \(h\), а затем воспользоваться формулой объёма цилиндра. Ответ: \(3380\pi\ \text{см}^{3}\).