ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ<\alpha<180^\circ\). Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол \(\beta\) и удалена от неё на расстояние, равное \(d\). Найдите объём цилиндра.

Искомый объём выражаем через радиус \(r\) и высоту \(h\): \(V=\pi r^{2}h\).

Из условия плоскость параллельна оси и отсекает дугу основания градусной меры \(\alpha\), значит хорда имеет длину \(2r\sin\frac{\alpha}{2}\), а расстояние от оси до плоскости равно \(r\cos\frac{\alpha}{2}=d\). Отсюда \(r=\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

Диагональ сечения образует с осью угол \(\beta\), а диагональ равна \(\sqrt{h^{2}+(2r\sin\frac{\alpha}{2})^{2}}\). Тогда \(\tan\beta=\frac{2r\sin\frac{\alpha}{2}}{h}\), откуда \(h=2r\sin\frac{\alpha}{2}\cot\beta\).

Подставляя \(r\) и \(h\) в \(V=\pi r^{2}h\), получаем \(V=\pi\left(\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}\cdot 2\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\sin\frac{\alpha}{2}\cot\beta=\frac{2\pi d^{3}\tan\frac{\alpha}{2}\cot\beta}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\).

1) Обозначим радиус основания цилиндра через \(r\), высоту через \(h\), объём через \(V\). По определению объёма кругового цилиндра имеем \(V=\pi r^{2}h\). Чтобы выразить \(V\) через параметры задачи \(\alpha\), \(\beta\) и \(d\), нужно связать \(r\) и \(h\) с этими величинами, используя геометрию сечения плоскостью, параллельной оси цилиндра. Такая плоскость пересекает каждое основание по хорде, причём дуга, которую она отсекает в основании, имеет градусную меру \(\alpha\). В круге центральный угол, стягивающий эту хорду, равен \(\alpha\), поэтому половине угла \(\frac{\alpha}{2}\) соответствует прямоугольный треугольник с гипотенузой \(r\) и прилежащим катетом, равным расстоянию от центра круга до секущей плоскости. Длина хорды равна \(2r\sin\frac{\alpha}{2}\), а расстояние от центра круга до хорды равно \(r\cos\frac{\alpha}{2}\).

2) Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения по условию равно \(d\). Это расстояние совпадает с расстоянием от центра основания до хорды, следовательно \(d=r\cos\frac{\alpha}{2}\). Отсюда находим радиус \(r=\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\). Теперь используем информацию об угле \(\beta\) между диагональю полученного сечения и осью цилиндра. Сечение плоскостью, параллельной оси, даёт прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\sin\frac{\alpha}{2}\); его диагональ образует с высотой (осью цилиндра) угол \(\beta\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и половиной диагонали по вертикали, отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла, поэтому \(\tan\beta=\frac{2r\sin\frac{\alpha}{2}}{h}\). Отсюда высота выражается как \(h=2r\sin\frac{\alpha}{2}\cot\beta\).

3) Подставим найденные выражения \(r=\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\) и \(h=2r\sin\frac{\alpha}{2}\cot\beta\) в формулу объёма \(V=\pi r^{2}h\). Получаем \(V=\pi\left(\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^{2}\cdot\left(2\frac{d}{\cos\frac{\alpha}{2}}\sin\frac{\alpha}{2}\cot\beta\right)\). Сгруппируем множители по \(d\) и по тригонометрическим функциям: \(V=2\pi d^{3}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos^{3}\frac{\alpha}{2}}\cot\beta\). Заметим, что \(\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\tan\frac{\alpha}{2}\), а оставшийся множитель \(\frac{1}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\) остаётся в знаменателе. Поэтому окончательно \(V=\frac{2\pi d^{3}\tan\frac{\alpha}{2}\cot\beta}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\).