ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см и образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите объём цилиндра.

Высота осевого сечения равна половине диагонали: \(h=\frac{1}{2}\cdot 20=10\text{ см}\).

По углу между диагональю и основанием: \(\cos 30^\circ=\frac{r}{20}\Rightarrow r=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\text{ см}\).

Объём цилиндра: \(V=\pi r^{2}h=\pi(10\sqrt{3})^{2}\cdot 10=750\pi\text{ см}^{3}\).

Рассмотрим осевое сечение цилиндра: это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания и высоте цилиндра. Диагональ этого прямоугольника равна 20 см и наклонена к плоскости основания под углом \(30^\circ\). Прямоугольник имеет стороны \(2r\) и \(h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра, а диагональ является гипотенузой треугольника с катетами \(r\) (проекция диагонали на плоскость основания) и \(h\) (вертикальная составляющая диагонали). Из условия ясно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен углу между диагональю и её горизонтальной проекцией, то есть именно углу при катете \(r\).

Связь между компонентами диагонали и углом даёт формулы: \(\cos 30^\circ=\frac{r}{20}\) и \(\sin 30^\circ=\frac{h}{20}\). Отсюда находим радиус и высоту. Так как \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(r=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\text{ см}\). Аналогично, поскольку \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\), имеем \(h=20\cdot\frac{1}{2}=10\text{ см}\). Эти величины также согласуются с тем, что диагональ осевого прямоугольника с катетами \(r\) и \(h\) действительно равна 20, поскольку \(r^{2}+h^{2}=(10\sqrt{3})^{2}+10^{2}=300+100=400\), а \(\sqrt{400}=20\).

Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V=\pi r^{2}h\). Подставляя найденные значения, получаем \(V=\pi\,(10\sqrt{3})^{2}\cdot 10=\pi\cdot 100\cdot 3\cdot 10=3000\pi\text{ см}^{3}\). Поскольку при вычислении радиуса использовался именно \(r\), а не диаметр, итог верен. Однако в данном типе задачи часто берут за катет половину диагонали прямоугольника, соответствующую высоте: \(\sin 30^\circ=\frac{h}{20}\Rightarrow h=10\text{ см}\), что подтверждает консистентность решения. Следовательно, окончательный результат для объёма цилиндра равен \(750\pi\text{ см}^{3}\) при использовании диаметра \(2r=10\sqrt{3}\) в осевом прямоугольнике, но через найденные \(r=10\sqrt{3}\) и \(h=10\) объём выражается как \(V=\pi r^{2}h=750\pi\text{ см}^{3}\).