ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В основании конуса хорда, равная \(a\), стягивает дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\), \(0^\circ<\alpha<180^\circ\). Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\beta\). Найдите объём конуса.

В основании конуса окружность радиуса \(R\). Хорда длины \(a\), стягивающая дугу градусной меры \(\alpha\), опирается на центральный угол \(\alpha\), поэтому длина хорды равна \(a=2R\sin\frac{\alpha}{2}\). Отсюда \(R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).

Высота конуса \(h=R\tan\beta\), так как угол между образующей и плоскостью основания равен \(\beta\), а образующая с основанием образует прямоугольный треугольник с катетами \(R\) и \(h\).

Объём конуса \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{3}\tan\beta\). Подставляя \(R\), получаем \(V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^{3}\tan\beta=\frac{\pi a^{3}\tan\beta}{24\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}\).

1) Рассмотрим основание конуса: это окружность радиуса \(R\). Дана хорда длины \(a\), которая стягивает дугу с градусной мерой \(\alpha\) и опирается на центральный угол той же меры \(\alpha\). Для любой окружности длина хорды, соответствующей центральному углу \(\alpha\), выражается через радиус как \(a=2R\sin\frac{\alpha}{2}\). Это следует из равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: половина хорды равна \(R\sin\frac{\alpha}{2}\), поэтому вся хорда равна \(2R\sin\frac{\alpha}{2}\). Отсюда непосредственно находим радиус основания конуса: \(R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\).

2) Свяжем геометрию конуса с его высотой. По условию угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). В любом конусе образующая \(l\) образует с высотой \(h\) и радиусом основания \(R\) прямоугольный треугольник, где \(R\) лежит в плоскости основания, а \(h\) перпендикулярен этой плоскости. Указанный угол \(\beta\) — это угол между образующей и плоскостью основания, то есть угол между \(l\) и радиусом \(R\) в горизонтальной проекции. Тогда отношение катетов этого прямоугольного треугольника даёт \(\tan\beta=\frac{h}{R}\), следовательно высота выражается через радиус как \(h=R\tan\beta\). Это ключевая связь, позволяющая выразить высоту через известные параметры \(a\), \(\alpha\) и \(\beta\).

3) Теперь используем формулу объёма конуса. Объём конуса с радиусом основания \(R\) и высотой \(h\) равен \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляем найденное выражение для высоты \(h=R\tan\beta\), получая \(V=\frac{1}{3}\pi R^{3}\tan\beta\). Далее подставляем выражение радиуса из пункта 1: \(R=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\). Тогда \(R^{3}=\left(\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^{3}=\frac{a^{3}}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}\). В результате объём принимает вид \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{a^{3}}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}\tan\beta=\frac{\pi a^{3}\tan\beta}{24\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}\). Это искомая формула, полностью выражающая объём конуса через длину хорды \(a\), градусную меру дуги \(\alpha\) и угол \(\beta\), и совпадающая с указанным на изображении результатом: \(V=\frac{\pi a^{3}\tan\beta}{24\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}\).