ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна \(60^\circ\). Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания конуса угол \(60^\circ\). Высота конуса равна \(\sqrt{3}\) см. Найдите объём конуса.

Дуга \(60^\circ\) даёт хорду длиной \(2R\sin30^\circ=R\). Расстояние от центра основания до середины хорды равно \(R\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}R\).

Угол между отрезком от вершины к середине хорды и плоскостью основания \(60^\circ\): \(\tan60^\circ=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\). При \(h=\sqrt{3}\) получаем \( \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\Rightarrow R=\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Тогда объём конуса \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\sqrt{3}=\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}\,\text{см}^3\).

Рассмотрим круг основания конуса и хорду, которая стягивает дугу в \(60^\circ\). Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен \(60^\circ\). Длина хорды окружности радиуса \(R\) выражается формулой \(2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). При \(\alpha=60^\circ\) получаем длину хорды \(2R\sin30^\circ=2R\cdot\frac{1}{2}=R\), то есть хорда равна радиусу основания. Середина хорды лежит на линии, соединяющей центр основания с серединой хорды, и образует с центром прямоугольный треугольник, в котором прилежащий катет равен расстоянию от центра до середины хорды. Это расстояние вычисляется как \(R\cos30^\circ=R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\). Таким образом, в плоскости основания у нас есть ориентир: проектируемая точка на середину хорды удалена от центра на \(\frac{\sqrt{3}}{2}R\).

Теперь рассмотрим отрезок от вершины конуса к середине хорды. По условию угол между этим отрезком и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Пусть высота конуса равна \(h\). Тогда тангенс угла наклона отрезка к плоскости равен отношению вертикальной составляющей к горизонтальной проекции, то есть \(\tan60^\circ=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\). Так как \(\tan60^\circ=\sqrt{3}\), имеем уравнение \(\sqrt{3}=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\). По условию \(h=\sqrt{3}\), подставляя, получаем \(\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\). Сокращая \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе, находим \(\frac{\sqrt{3}}{2}R=1\), откуда \(R=\frac{2}{\sqrt{3}}\). Для удобства часто рационализируют знаменатель: \(R=\frac{2\sqrt{3}}{3}\), но в дальнейшем можно использовать любую из эквивалентных форм.

Остаётся вычислить объём конуса по формуле \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляя \(R=\frac{2}{\sqrt{3}}\) и \(h=\sqrt{3}\), получаем \(V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{4}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}\ \text{см}^{3}\). Эта величина совпадает с указанным ответом: \(\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}\ \text{см}^{3}\).