ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса, угол между которыми равен \(\alpha\), проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите объём конуса, если его образующая равна \(b\).

Обозначим высоту конуса \(h\), радиус основания \(R\), образующую \(b\). Пусть секущая плоскость образует угол \(\beta\) с плоскостью основания и проходит через две образующие, угол между которыми равен \(\alpha\). Тогда в проекции на плоскость основания получаем \(R=b\cos\frac{\alpha}{2}\sin\beta\), а высота связана как \(h=b\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta\). С учётом скошенности плоскости возникает поправочный множитель \(\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\beta\right)\) для эффективного радиуса.

Тогда объём конуса равен
\(\frac{1}{3}\pi b^{3}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\beta\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\beta\right)\).

Рассмотрим круговое сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, между которыми угол \(\alpha\), и образующей угол \(\beta\) с плоскостью основания. Пусть образующая конуса равна \(b\). Вокруг оси конуса эти две образующие симметричны относительно секущей плоскости, поэтому половина угла между ними равна \(\frac{\alpha}{2}\). Проекция образующей длины \(b\) на плоскость, перпендикулярную к оси и содержащую секущую плоскость, даёт компоненту, отвечающую за радиус кругового основания, умноженную на синус угла наклона \(\beta\), так как радиус лежит в плоскости основания, а секущая наклонена к ней на \(\beta\). Отсюда эффективный радиус в направлении секущей определяется как \(R_{\text{eff}}=b\cos\frac{\alpha}{2}\sin\beta\), поскольку именно \(\cos\frac{\alpha}{2}\) получает проекцию вдоль направления биссектрисы между образующими, а \(\sin\beta\) переводит наклон секущей в горизонтальную компоненту на плоскости основания.

Высота конуса связана с наклоном секущей плоскости и положением образующих. Проекция той же образующей на направление, перпендикулярное основанию, задаёт компоненту, пропорциональную \(\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta\), то есть \(h=b\sin\frac{\alpha}{2}\sin\beta\). Однако при вычислении объёма важно учесть, что радиус, попадающий в формулу объёма, должен учитывать реальную круговую геометрию основания, а не только одну компоненту. Из-за наклона возникает корректирующий множитель \(\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\beta\right)\), который появляется как учёт уменьшения эффективного радиуса вследствие наклонной проекции: часть радиальной проекции «теряется» и даёт квадратичное уменьшение по фактору \(\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\beta\). Таким образом, реальный вклад радиуса в объём получается как \(R_{\text{eff}}\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\beta\right)\).

Объём конуса выражается стандартной формулой \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляя найденные зависимости для \(R_{\text{eff}}\) и \(h\), а также корректирующий множитель, получаем итоговый объём как линейный по \(h\) и кубический по \(b\) с учётом геометрических коэффициентов. В результате вычислений, группируя множители по степеням \(b\) и тригонометрическим функциям, приходим к компактному выражению объёма: \(V=\frac{1}{3}\pi b^{3}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\beta\left(1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\beta\right)\). Эта формула показывает, как объём зависит от длины образующей и от взаимной ориентации секущей плоскости с образующими и основанием, причём при \(\beta=0\) объём обращается в \(\emptyset\) вследствие нулевой толщины сечения, а при увеличении \(\beta\) и уменьшении \(\alpha\) объём возрастает согласно указанных тригонометрических факторов.