ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, которую видно из центра основания конуса под углом \(\alpha\). Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен \(\beta\). Найдите объём конуса, если радиус его основания равен \(R\).

В основании конуса хорда видна из центра под углом \(\alpha\), значит её половина равна \(R\sin\!\frac{\alpha}{2}\). Проекция высоты конуса на плоскость основания даёт связь с углом \(\beta\): \(h=R\cos\!\frac{\alpha}{2}\tan\beta\).

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{3}\cos\!\frac{\alpha}{2}\tan\beta\).

1. Пусть плоскость проходит через две образующие конуса и пересекает основание по хорде, которую из центра основания видно под углом \(\alpha\). Это означает, что центральный угол, опирающийся на данную хорду, равен \(\alpha\). Тогда длина половины хорды равна расстоянию от центра основания до её конца, умноженному на синус половины центрального угла: \(\frac{c}{2}=R\sin\!\frac{\alpha}{2}\). Следовательно, сама хорда имеет длину \(c=2R\sin\!\frac{\alpha}{2}\). В сечении плоскостью получаем равнобедренный треугольник с вершиной в апексе конуса и основанием, равным хорде \(c\), при этом ось конуса перпендикулярна основанию и лежит в плоскости, содержащей центр основания и середину хорды.

2. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания равен \(\beta\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \(h\), её проекцией на плоскость основания и перпендикуляром из апекса к основанию хорды. Линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания проходит через хорду, а нормаль к основанию образует с плоскостью сечения угол \(\beta\). Тогда отношение противоположного катета к прилежащему равно \(\tan\beta\), где противоположный катет есть высота \(h\), а прилежащий катет — расстояние от центра основания до середины хорды, то есть \(R\cos\!\frac{\alpha}{2}\). Отсюда получаем связь высоты с углами: \(h=R\cos\!\frac{\alpha}{2}\tan\beta\). Это отражает факт, что чем больше наклон плоскости \(\beta\), тем больше высота при фиксированном радиусе и угле видимости хорды \(\alpha\).

3. Объём конуса выражается через радиус основания и высоту формулой \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляя найденное выражение для высоты, получаем искомый объём через заданные параметры задачи \(\alpha\), \(\beta\) и \(R\): \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}\bigl(R\cos\!\frac{\alpha}{2}\tan\beta\bigr)=\frac{1}{3}\pi R^{3}\cos\!\frac{\alpha}{2}\tan\beta\). Таким образом, объём напрямую зависит от радиуса в степени \(3\), от косинуса половины угла видимости хорды и от тангенса угла наклона плоскости к основанию.