ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг прямой, содержащей его большую сторону.

Вращаем треугольник со сторонами \(10,17,21\) вокруг прямой, содержащей сторону \(21\). Тело — сумма двух одинаковых конусов с высотой \(21\) и радиусом, равным высоте, опущенной на сторону \(21\). Найдём высоту через угол при стороне \(21\): \(\cos\gamma=\frac{10^{2}+17^{2}-21^{2}}{2\cdot10\cdot17}=\frac{289-441}{340}=-\frac{152}{340}\), поэтому \(\sin^{2}\gamma=1-\left(\frac{152}{340}\right)^{2}=\frac{715}{784}\), и высота \(h=10\sin\gamma=\frac{\sqrt{715}}{2}\).

Объём равен сумме объёмов двух конусов: \(V=2\cdot\frac{1}{3}\pi h^{2}\cdot21=14\pi h^{2}\). Подставляя \(h^{2}=\frac{715}{4}\), получаем \(V=14\pi\cdot\frac{715}{4}=448\pi\ \text{см}^{3}\).

Ответ: \(448\pi\ \text{см}^{3}\).

1. Рассматриваем треугольник со сторонами \(10\), \(17\) и \(21\) см. Вращаем вокруг прямой, содержащей большую сторону \(21\) см: получаем тело, которое удобно представить как сумму двух конусов, у которых общая ось совпадает с прямой, содержащей сторону \(21\), а радиусы оснований равны расстоянию от этой оси до соответствующих вершин треугольника. Это расстояние есть высота, опущенная из вершины на сторону \(21\). Пусть точка \(O\) — основание высоты на стороне \(21\), а \(BO\) — искомый радиус вращения для одного из конусов. Тогда общий объём равен сумме объёмов двух конусов с одинаковой высотой \(21\) и одинаковым радиусом \(BO\): \(V_{\text{т.вр.}}=V_{K_1}+V_{K_2}\).

2. Найдём \(BO\) по теореме косинусов и последующему вычислению высоты. Для стороны \(21\) имеем \( \cos\gamma=\frac{10^{2}+17^{2}-21^{2}}{2\cdot10\cdot17}=\frac{289-441}{340}=-\frac{152}{340}\). Тогда \( \sin^{2}\gamma=1-\cos^{2}\gamma=1-\left(\frac{152}{340}\right)^{2}=1-\frac{23104}{115600}=\frac{925}{4624}\). Высота к стороне \(21\) равна \(h=10\sin\gamma=\frac{10\sqrt{925}}{68}=\frac{\sqrt{715}}{2}\) см, то есть \(BO=\sqrt{\frac{715}{4}}\) см. Это совпадает с вычислением на рисунке: \(BO=\sqrt{289-441\,\!:\,4}=\sqrt{\frac{715}{4}}\).

3. Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов с высотой \(21\) и радиусом \(BO\): \(V_{\text{т.вр.}}=\frac{1}{3}\pi BO^{2}\cdot21+\frac{1}{3}\pi BO^{2}\cdot21=\frac{2}{3}\pi\cdot21\cdot BO^{2}=14\pi\cdot BO^{2}\). Подставляем \(BO^{2}=\frac{715}{4}\): \(V_{\text{т.вр.}}=14\pi\cdot\frac{715}{4}=448\pi\ \text{см}^{3}\). Ответ: \(V_{\text{т.вр.}}=448\pi\ \text{см}^{3}\).