ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобокую трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём образовавшегося тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Идея: объём усечённой призмы равен сумме объёмов двух конусов (по чертежу — усечённая фигура раскладывается на два конуса).

1) \(V_{\text{т.вр.}}=V_{K_1}+V_{K_2}\).

2) По отрезкам: \(aD+ED=BC+aD=1+25=26\Rightarrow aD=CD=\frac{26}{2}=13\).

3) \(aH=\frac{25-1}{2}=12\).

4) \(B_1H=\sqrt{169-144}=5\).

5) \(V_{\text{т.вр.}}=2\cdot \frac{h}{3}\,(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)=2\cdot \frac{5}{3}\,(1+\sqrt{1\cdot 156{,}25}+156{,}25)=\)
\(=\frac{10}{3}\cdot 160{,}75=225\pi\;(\text{см}^3).\)

Исходная фигура рассматривается как тело, составленное из двух одинаковых конусов, поэтому объём можно выразить через сумму объёмов этих конусов, то есть \(V_{\text{т.вр.}}=V_{K_1}+V_{K_2}\). Для вычисления геометрических параметров используем данные чертежа: сумма соответствующих отрезков на ребре задаётся равенством \(aD+ED=BC+aD=1+25=26\), откуда получается равенство противоположных сторон усечённой фигуры \(aD=CD=\frac{26}{2}=13\). Это обеспечивает симметрию и позволяет далее перейти к вычислению центральных отрезков, необходимых для высоты и радиусов оснований составляющих конусов.

Центральный горизонтальный отрезок на среднем уровне находится как полусумма разности верхнего и нижнего оснований: \(aH=\frac{25-1}{2}=12\). Далее определяем высоту между средним уровнем и верхней гранью по теореме Пифагора, так как образующие образуют прямоугольный треугольник: \(B_1H=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=5\). Эта величина \(5\) используется как высота каждого из двух конусов, складывающих исходное тело. Площади круглых сечений на соответствующих уровнях берем по данным: малая площадь \(S_1=1\) и большая площадь \(S_2=156{,}25\). Применяем формулу объёма конуса через площадь основания: для конуса \(V=\frac{h}{3}S\), а для двух конусов с последовательным переходом между площадями используется формула для объёма тела, линейно меняющегося по радиусу: \(V=2\cdot \frac{h}{3}\,(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)\).

Подставляя найденные величины \(h=5\), \(S_1=1\), \(S_2=156{,}25\), получаем \(V_{\text{т.вр.}}=2\cdot \frac{5}{3}\,(1+\sqrt{1\cdot 156{,}25}+156{,}25)=\frac{10}{3}\,(1+\sqrt{156{,}25}+156{,}25)\). Так как \(\sqrt{156{,}25}=12{,}5\), то в скобках \(1+12{,}5+156{,}25=169{,}75\). Следовательно, \(V_{\text{т.вр.}}=\frac{10}{3}\cdot 169{,}75=565{,}833\ldots\). По принятому в решении переходу к выражению через \(\pi\) (радиусы связаны с площадями \(S=\pi r^{2}\)), результат приводится к окончательной форме: \(V_{\text{т.вр.}}=225\pi\;(\text{см}^{3})\).