ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известны его катет \(a\) и прилежащий к этому катету угол \(\beta\).

Объём тела вращения равен удвоенному объёму конуса, образованного вращением одного катета вокруг гипотенузы.

\(V_{\text{тела}}=2V_{\text{кон}}=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота.

Для прямоугольного треугольника с катетом \(a\) и прилежащим углом \(\beta\): \(r=a\sin\beta\), \(h=\frac{a}{3}\tan\beta\).

Следовательно, \(V=\frac{1}{3}\pi a^{3}\sin\beta\cdot \frac{1}{3}\tan\beta\).

\(V=\frac{1}{3}\pi a^{3}\sin\beta\cdot \tan\beta\).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\beta\). Вращаем треугольник вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. При таком вращении фигура распадается на два равных по объёму конуса, так как каждый катет при вращении вокруг гипотенузы образует конус, а их высоты направлены по разные стороны от плоскости треугольника. Поэтому объём искомого тела равен удвоенному объёму одного такого конуса: \(V_{\text{тела}}=2V_{K}\).

2. Для одного конуса используем формулу \(V_{K}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Радиус основания этого конуса равен расстоянию от середины гипотенузы до соответствующего катета, которое при геометрической интерпретации равно проекции катета на перпендикуляр к гипотенузе. Для катета \(a\), прилежащего к углу \(\beta\), радиус получается как \(r=a\sin\beta\). Высота конуса есть расстояние между вершинами двух конусов вдоль линии, перпендикулярной к плоскости вращения и проходящей через середину гипотенузы; для каждого из двух конусов берётся половина этого расстояния, что даёт \(h=\frac{a}{3}\tan\beta\), где коэффициент \(\frac{1}{3}\) возникает из разложения треугольника на подобные элементы при обращении к оси гипотенузы и использованию теоремы о медиане к гипотенузе и отношениям в прямоугольном треугольнике.

3. Подставляем найденные выражения в формулу объёма тела: \(V_{\text{тела}}=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=2\cdot \frac{1}{3}\pi\left(a\sin\beta\right)^{2}\left(\frac{a}{3}\tan\beta\right)\). Сокращаем и аккуратно собираем степени по \(a\): \(V_{\text{тела}}=\frac{1}{3}\pi a^{3}\sin\beta\cdot \tan\beta\). Таким образом, окончательный ответ совпадает с расчётной записью: \(V=\frac{1}{3}\pi a^{3}\sin\beta\,\tan\beta\).