ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого составляет \(120^\circ\). Найдите объём конуса, если площадь его боковой поверхности равна \(9\pi\) см\(^2\).

Пусть образующая конуса \(l\) и радиус основания \(R\). Развёртка боковой поверхности — сектор с углом \(120^\circ\), значит длина дуги сектора равна длине окружности основания: \(2\pi R=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=\frac{2\pi l}{3}\). Отсюда \(R=\frac{l}{3}\).

Площадь боковой поверхности: \(S=\pi R l=9\pi\). Подставим \(R=\frac{l}{3}\): \(\pi\cdot \frac{l}{3}\cdot l=9\pi\Rightarrow \frac{l^{2}}{3}=9\Rightarrow l^{2}=27\Rightarrow l=3\sqrt{3}\). Тогда \(R=\frac{l}{3}=\sqrt{3}\).

Объём: \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\), где \(h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{27-3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\). Следовательно \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{6}=2\pi\sqrt{6}\) см\(^3\).

1) Развёртка боковой поверхности конуса является сектором круга с радиусом образующей \(l\) и центральным углом \(120^\circ\). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, поскольку при сворачивании дуга становится окружностью основания. Поэтому получаем равенство длин: \(2\pi R=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=\frac{2\pi l}{3}\). Отсюда следует прямая пропорция между радиусом основания и образующей: \(R=\frac{l}{3}\). Это ключевая связь, позволяющая выразить все искомые величины через одну переменную \(l\).

2) Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой \(S=\pi R l\). По условию \(S=9\pi\). Подставляя найденную зависимость \(R=\frac{l}{3}\), получаем уравнение на \(l\): \(\pi\cdot \frac{l}{3}\cdot l=9\pi\), то есть \(\frac{l^{2}}{3}=9\). Умножая на \(3\), находим \(l^{2}=27\), а значит \(l=3\sqrt{3}\) (берём положительное значение, так как длина неотрицательна). Тогда радиус основания равен \(R=\frac{l}{3}=\sqrt{3}\). Эти значения согласованы с исходной площадью: действительно, \(S=\pi\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=9\pi\).

3) Для объёма конуса используем формулу \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\), где высота \(h\) связана с \(R\) и \(l\) через прямоугольный треугольник образующей: \(l^{2}=R^{2}+h^{2}\). Следовательно, \(h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{27-3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\). Подставляя \(R=\sqrt{3}\) и \(h=2\sqrt{6}\) в формулу объёма, получаем \(V=\frac{1}{3}\pi\left(\sqrt{3}\right)^{2}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{1}{3}\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{6}=2\pi\sqrt{6}\ \text{см}^{3}\). Ответ согласуется с геометрическими зависимостями развёртки и заданной площадью: объём конуса равен \(2\pi\sqrt{6}\ \text{см}^{3}\).