ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг, радиус которого равен 8 см. Найдите объём конуса.

Развёртка боковой поверхности конуса — полукруг радиуса 8 см, значит образующая \(l=8\). Диаметр основания конуса равен длине дуги основания на развёртке, то есть диаметру полукруга: \(2r=16 \Rightarrow r=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\) (так как длина дуги полукруга равна \(\pi\cdot 8\), а длина окружности основания \(2\pi r\), откуда \(2\pi r=\pi\cdot 8 \Rightarrow r=4\)) — исправим: \(2\pi r=\pi\cdot 8 \Rightarrow r=4\).

По теореме Пифагора \(l^2=r^2+h^2\), значит \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}\).

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi\cdot 4^2\cdot 4\sqrt{3}=\frac{64\pi\sqrt{3}}{3}\).

Развёртка боковой поверхности конуса задана как полукруг радиуса 8 см. Это означает, что длина образующей конуса равна радиусу развёртки, то есть \(l=8\) см. Дуга полукруга в развёртке равна длине окружности основания конуса, поскольку при раскрывании боковой поверхности вся окружность основания «раскатывается» в дугу. Длина дуги полукруга равна половине длины полной окружности с радиусом 8: \(\pi\cdot 8\). Следовательно, эта дуга равна длине окружности основания: \(2\pi r=\pi\cdot 8\). Отсюда находим радиус основания конуса: \(r=\frac{8}{2}=4\) см. Этот шаг принципиален: мы связываем геометрию развёртки (полукруг) с геометрией конуса (основание — окружность), сопоставляя длины.

Высота конуса \(h\) выражается через образующую \(l\) и радиус основания \(r\) по теореме Пифагора для образующего треугольника, получающегося при разрезе конуса осевой плоскостью: \(l^{2}=r^{2}+h^{2}\). Зная \(l=8\) и \(r=4\), вычисляем высоту: \(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) см. Здесь важно понимать, что образующая — гипотенуза, радиус — один катет, а высота — второй катет, что даёт прямую связь между развёрткой и вертикальными параметрами конуса.

Объём конуса выражается стандартной формулой через радиус основания и высоту: \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Подставляем найденные значения \(r=4\) и \(h=4\sqrt{3}\): \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot 4^{2}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 4\sqrt{3}=\frac{64\pi\sqrt{3}}{3}\ \text{см}^{3}\). Таким образом, использование развёртки позволило сначала определить радиус основания через равенство длин дуг, затем найти высоту через теорему Пифагора, и в завершение — получить искомый объём по классической формуле для конуса: \(V=\frac{64\pi\sqrt{3}}{3}\ \text{см}^{3}\).