ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус вписан шар, радиус которого равен 3 см. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 см.

Дано: в конус вписан шар радиуса \(r=3\) см, радиус основания конуса \(R=6\) см.

Связь высоты \(h\) и радиусов для вписанного шара: \(r=\frac{hR}{\sqrt{h^{2}+R^{2}}+R}\). Подставим \(r=3\), \(R=6\):
\(3=\frac{6h}{\sqrt{h^{2}+36}+6}\Rightarrow \sqrt{h^{2}+36}+6=2h\Rightarrow \sqrt{h^{2}+36}=2h-6\).
Возведём в квадрат: \(h^{2}+36=4h^{2}-24h+36\Rightarrow 3h^{2}-24h=0\Rightarrow h=8\) см.

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^{2}\cdot 8=96\pi\ \text{см}^{3}\).

1) Рассмотрим геометрию вписанного шара в прямой круговой конус. Центр шара лежит на оси конуса и касается: основания конуса по окружности и боковой поверхности по образующей. Радиус шара равен \(r=3\) см, радиус основания конуса \(R=6\) см. Между высотой конуса \(h\), радиусом основания \(R\) и радиусом вписанного шара \(r\) существует стандартная связь, выводимая из подобия прямоугольных треугольников, образованных осью, образующей и радиусом основания, а также из равенства расстояний от центра сферы до касательных плоскостей: \(r=\frac{hR}{\sqrt{h^{2}+R^{2}}+R}\). Эта формула получается из отношения радиусов подобных треугольников: маленький треугольник от вершины до точки касания боковой поверхности со сферой подобен исходному с коэффициентом \(\frac{h-r}{h}\), и вместе с условием касания к основанию даёт указанную дробь.

2) Подставим известные значения \(r=3\) и \(R=6\) в указанную формулу и найдём \(h\): \(3=\frac{6h}{\sqrt{h^{2}+6^{2}}+6}\). Перенесём знаменатель влево: \(3\bigl(\sqrt{h^{2}+36}+6\bigr)=6h\). Сократим на \(3\): \(\sqrt{h^{2}+36}+6=2h\). Отделим корень: \(\sqrt{h^{2}+36}=2h-6\). Так как левая часть неотрицательна, правая тоже должна быть неотрицательной, значит \(h>3\), что согласуется с геометрией. Возведём обе части в квадрат: \(h^{2}+36=(2h-6)^{2}=4h^{2}-24h+36\). Переносим в одну сторону и упрощаем: \(0=3h^{2}-24h\), откуда \(3h(h-8)=0\). Поскольку высота положительна и не равна нулю, получаем \(h=8\) см. Это значение согласовано с построением: центр шара отстоит на \(r=3\) от основания и на \(h-r=5\) от вершины по оси, что даёт корректные подобия.

3) Теперь вычислим объём конуса по стандартной формуле \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляем \(R=6\) и \(h=8\): \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^{2}\cdot 8=\frac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 8=12\cdot 8\pi=96\pi\ \text{см}^{3}\). Таким образом, объём конуса равен \(96\pi\ \text{см}^{3}\). Дополнительно отметим проверку согласованности: отношение \(r\) к гипотенузе образующего треугольника подтверждает найденную высоту, так как \(\sqrt{h^{2}+R^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10\), и формула \(r=\frac{hR}{\sqrt{h^{2}+R^{2}}+R}=\frac{8\cdot 6}{10+6}=\frac{48}{16}=3\) верна, следовательно итог \(V=96\pi\ \text{см}^{3}\) корректен.