ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В цилиндрический сосуд, наполненный водой, погрузили металлическую деталь. При этом деталь оказалась полностью покрытой водой. Уровень воды в сосуде поднялся на 14 см, не достигнув края сосуда. Найдите объём детали, если внутренний диаметр сосуда равен 20 см.

Объём детали равен объёму вытесненной воды в цилиндре: \(V=\pi r^{2}h\).

Радиус сосуда: \(r=\frac{20}{2}=10\) см, подъём уровня: \(h=14\) см. Тогда \(V=\pi\cdot 10^{2}\cdot 14=\pi\cdot 100\cdot 14=1400\pi\ \text{см}^{3}\).

Ответ: \(1400\pi\ \text{см}^{3}\) (примерно \(4398\ \text{см}^{3}\)).

Объём детали при полном погружении в воду равен объёму вытесненной жидкости. В цилиндрическом сосуде объём слоя воды, который поднялся, вычисляется как объём цилиндра с тем же радиусом, что и сосуд, и высотой, равной увеличению уровня воды. Формула объёма цилиндра: \(V=\pi r^{2}h\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра. Поскольку деталь полностью покрыта водой, её объём точь‑в‑точь равен этому объёму вытесненной воды.

Диаметр сосуда равен \(20\) см, следовательно, радиус равен половине диаметра: \(r=\frac{20}{2}=10\) см. Уровень воды поднялся на \(14\) см, значит, высота цилиндрического объёма вытесненной воды \(h=14\) см. Подставляя в формулу, получаем: \(V=\pi\cdot r^{2}\cdot h=\pi\cdot 10^{2}\cdot 14\). Здесь \(10^{2}=100\), поэтому объём: \(V=\pi\cdot 100\cdot 14\).

Произведение \(100\cdot 14=1400\), следовательно, искомый объём детали: \(V=1400\pi\ \text{см}^{3}\). Приближённо, если принять \(\pi\approx 3{,}1416\), получаем \(V\approx 1400\cdot 3{,}1416\approx 4398\ \text{см}^{3}\). Таким образом, точное значение объёма детали в кубических сантиметрах: \(1400\pi\ \text{см}^{3}\), что совпадает с расчётом на изображении.