ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус вписан шар, радиус которого равен \(r\). Найдите объём конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\).

Обозначим высоту конуса \(h\), радиус основания \(R\), образующую \(l\). Угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\), значит в прямоугольном треугольнике с катетами \(R,h\) и гипотенузой \(l\) имеем \(\tan\alpha=\frac{h}{R}\), то есть \(h=R\tan\alpha\).

Радиус вписанного шара в прямом круговом конусе равен \(r=\frac{S_{\text{осн}}}{P_{\text{осн}}+l\pi/R}\) в частном случае удобнее использовать стандартную формулу \(r=\frac{A}{S}\) для усечённой призмы, но для конуса известно \(r=\frac{hR}{l+R\cdot\frac{P_{\text{осн}}}{\pi R}}=\frac{hR}{l+R}\). Здесь \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}=R\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}=R\sec\alpha\). Тогда \(r=\frac{hR}{R\sec\alpha+R}=\frac{h}{\sec\alpha+1}\).

Подставляя \(h=R\tan\alpha\), получаем \(r=\frac{R\tan\alpha}{\sec\alpha+1}=R\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=R\tan\frac{\alpha}{2}\). Отсюда \(R=r\cot\frac{\alpha}{2}\) и \(h=R\tan\alpha=r\cot\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\).

Объём конуса \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\bigl(r\cot\frac{\alpha}{2}\bigr)^{2}\bigl(r\cot\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\bigr)=\frac{1}{3}\pi r^{3}\cot^{3}\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\).

Рассмотрим прямой круговой конус с высотой \(h\), радиусом основания \(R\) и образующей \(l\). Угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\), поэтому в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей, выполняется соотношение \(\tan\alpha=\frac{h}{R}\), откуда \(h=R\tan\alpha\). Образующая выражается через \(R\) и \(h\) как \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}=R\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}=R\sec\alpha\). Радиус вписанного в конус шара равен расстоянию от вершины до плоскости основания по биссектрисе угла в сечении осевой плоскостью, и для конуса известное соотношение даёт \(r=\frac{hR}{l+R}\). Подставляя найденное \(l=R\sec\alpha\), получаем \(r=\frac{hR}{R(\sec\alpha+1)}=\frac{h}{\sec\alpha+1}\).

Свяжем \(r\) и \(R\) через тригонометрию. Используя тождество \(\sec\alpha+1=\frac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}\) и формулу половинного угла \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\), перепишем выражение для \(r\): \(r=\frac{h}{\sec\alpha+1}=h\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\). Подставляя \(h=R\tan\alpha=\frac{R\sin\alpha}{\cos\alpha}\), получаем \(r=R\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=R\tan\frac{\alpha}{2}\). Следовательно, \(R=r\cot\frac{\alpha}{2}\), а высота выражается как \(h=R\tan\alpha=r\cot\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\). Эти связи полностью определяют геометрию конуса через заданные \(r\) и \(\alpha\).

Объём конуса равен \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляя найденные выражения для \(R\) и \(h\), имеем \(V=\frac{1}{3}\pi\left(r\cot\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\left(r\cot\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\right)=\frac{1}{3}\pi r^{3}\cot^{3}\frac{\alpha}{2}\tan\alpha\). Это выражение компактно связывает объем с радиусом вписанного шара и углом между образующей и плоскостью основания, где \(\cot^{3}\frac{\alpha}{2}\) возникает из трёхкратного появления \(\cot\frac{\alpha}{2}\) при подстановке \(R\) и \(h\), а множитель \(\tan\alpha\) — из выражения высоты через угол \(\alpha\).