ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из сосуда, имеющего форму конуса, высота которого равна 8 см, а диаметр основания — 12 см, и наполненного до краёв водой, перелили воду в сосуд, имеющий форму цилиндра (рис. 20.7). Диаметр основания цилиндра равен 8 см. Какой наименьшей должна быть высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась?

Объём воды равен объёму конуса: \(V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\), где \(h_1=8\) см, диаметр \(12\Rightarrow r_1=6\) см. Тогда \(V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 8=96\pi\) см\(^3\).

В цилиндре \(V_{\text{ц}}=\pi r_2^2 h\), где диаметр \(8\Rightarrow r_2=4\) см. Приравнивая объёмы: \(\pi\cdot 4^2\cdot h=96\pi\Rightarrow 16h=96\Rightarrow h=6\) см.

Ответ: \(6\) см.

1) Рассчитаем объём конуса, поскольку именно столько воды было в исходном сосуде. Формула объёма конуса: \(V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). По условию высота конуса \(h=8\) см, диаметр основания \(12\) см, значит радиус основания \(r=\frac{12}{2}=6\) см. Подставим значения: \(V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^{2}\cdot 8=\frac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 8=96\pi\) см\(^3\). Это объём воды, который нужно перелить в цилиндр, чтобы вода не выливалась.

2) Объём цилиндра выражается формулой \(V_{\text{цилиндра}}=\pi R^{2}H\), где \(R\) — радиус основания цилиндра, \(H\) — его высота. Диаметр цилиндра равен \(8\) см, следовательно радиус \(R=\frac{8}{2}=4\) см. Чтобы вода из цилиндра не выливалась, объём цилиндра должен быть не меньше объёма перелитой воды, то есть \(V_{\text{цилиндра}}=V_{\text{конуса}}\). Приравниваем: \(\pi\cdot 4^{2}\cdot H=96\pi\). Сократим на \(\pi\) и вычислим высоту: \(16H=96\Rightarrow H=\frac{96}{16}=6\) см.

3) Полученное значение интерпретируем: высота цилиндра должна быть минимальной, но достаточной для размещения всего объёма воды из конуса. Так как радиус цилиндра меньше радиуса конуса, для сохранения того же объёма требуется соответствующая высота. Вычисления показали, что при радиусе \(4\) см объём цилиндра \(V=\pi\cdot 4^{2}\cdot 6=96\pi\) см\(^3\), то есть в точности равен объёму конуса. Следовательно, наименьшая высота цилиндра, чтобы вода не выливалась, равна \(6\) см.