ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стог сена имеет форму цилиндра с конической верхушкой. Радиус его основания равен 2,5 м, высота всего стога — 4 м, а высота его цилиндрической части — 2,2 м. Плотность сена равна 30 кг/м\(^3\). Сколько тонн составляет масса стога? Ответ округлите до десятых.

Объём стога — сумма объёмов цилиндра и конуса: \(V=V_{\text{цил}}+V_{\text{кон}}\). Радиус \(r=2{,}5\) м, высота цилиндра \(h_{\text{ц}}=2{,}2\) м, высота конуса \(h_{\text{к}}=4-2{,}2=1{,}8\) м.

\(V_{\text{цил}}=\pi r^2 h_{\text{ц}}=\pi\cdot(2{,}5)^2\cdot2{,}2=13{,}75\pi\ \text{м}^3\).

\(V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi\cdot(2{,}5)^2\cdot1{,}8=3{,}75\pi\ \text{м}^3\).

\(V=17{,}5\pi\approx54{,}98\ \text{м}^3\).

Масса: \(m=\rho V=30\cdot54{,}98\approx1649{,}4\ \text{кг}=1{,}6\ \text{т}\).

Ответ: \(1{,}6\ \text{т.}\)

Стог состоит из двух тел: цилиндра и конуса, имеющих общий радиус основания. Пусть радиус \(r=2{,}5\ \text{м}\). Общая высота стога \(H=4\ \text{м}\), из них на цилиндрическую часть приходится \(h_{\text{ц}}=2{,}2\ \text{м}\), а оставшаяся вершина — это конус высотой \(h_{\text{к}}=H-h_{\text{ц}}=4-2{,}2=1{,}8\ \text{м}\). Такое разбиение корректно, потому что поперечное сечение по высоте показывает: нижняя часть имеет постоянную площадь круга \(\pi r^{2}\), а верхняя — сужается линейно до вершины, что соответствует геометрии конуса.

Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V_{\text{цил}}=\pi r^{2}h_{\text{ц}}\). Подставим значения: \(r^{2}=(2{,}5)^{2}=6{,}25\), тогда \(V_{\text{цил}}=\pi\cdot6{,}25\cdot2{,}2=13{,}75\pi\ \text{м}^{3}\). Объём конической верхушки равен \(V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi\cdot6{,}25\cdot1{,}8=3{,}75\pi\ \text{м}^{3}\). Суммарный объём стога \(V=V_{\text{цил}}+V_{\text{кон}}=13{,}75\pi+3{,}75\pi=17{,}5\pi\ \text{м}^{3}\). Для численной оценки используем \(\pi\approx3{,}1416\): \(V\approx17{,}5\cdot3{,}1416\approx54{,}98\ \text{м}^{3}\). Промежуточные округления несущественно влияют на результат, так как конечный ответ требуется до десятых тонны.

Масса выражается через плотность по формуле \(m=\rho V\). При \(\rho=30\ \text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\) имеем \(m=30\cdot54{,}98\approx1649{,}4\ \text{кг}\). Переведём в тонны, учитывая \(1\ \text{т}=1000\ \text{кг}\): \(m\approx\frac{1649{,}4}{1000}=1{,}6494\ \text{т}\). Округляя до десятых, получаем \(1{,}6\ \text{т}\). Таким образом, геометрическое разбиение на цилиндр и конус, точные формулы объёмов \(V_{\text{цил}}=\pi r^{2}h_{\text{ц}}\) и \(V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{\text{к}}\), а также переход от объёма к массе через \(m=\rho V\) приводят к искомой массе стога \(1{,}6\ \text{т.}\)