ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиусы оснований усечённого конуса равны \(R\) и \(r\), \(R>r\). Найдите отношение объёма данного усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является.

Обозначим высоту целого конуса \(H\), а высоту усечённого \(h\). По подобию верхний срез — малый конус с высотой \(H-h\) и радиусом \(r\), причём \(\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}\). Тогда \(\frac{H-h}{H}=\frac{r}{R}\Rightarrow H=\frac{hR}{R-r}\).

Объём исходного конуса: \(V_{\text{цел}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H\). Объём малого срезанного конуса: \(V_{\text{мал}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}(H-h)\). Отношение объёма усечённого к целому:
\[
\frac{V_{\text{усеч}}}{V_{\text{цел}}}=\frac{V_{\text{цел}}-V_{\text{мал}}}{V_{\text{цел}}}=1-\frac{r^{2}(H-h)}{R^{2}H}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^{3}=\frac{R^{3}-r^{3}}{R^{3}}.
\]

Пусть дан исходный полный конус с радиусом основания \(R\) и высотой \(H\). Усечённый конус получается удалением верхнего малого конуса, у которого основание радиуса \(r\) и высота \(H-h\), где \(h\) — высота усечённого конуса. По подобию треугольников, образующихся в осевом сечении, отношение линейных размеров малого и большого конусов одинаково: \(\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}\). Эта связь означает, что все линейные размеры верхнего удалённого конуса масштабированы относительно исходного конуса с коэффициентом \(\frac{r}{R}\). Отсюда немедленно следует, что объемы связаны кубом этого коэффициента, поскольку объём зависит от произведения трёх линейных размеров.

Объём полного конуса равен \(V_{\text{цел}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H\). Объём малого конуса, срезанного сверху, равен \(V_{\text{мал}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}(H-h)\). Используя подобие \(\frac{H-h}{H}=\frac{r}{R}\), получаем \(\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{цел}}}=\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\). Тогда объём усечённого конуса равен разности объёмов: \(V_{\text{усеч}}=V_{\text{цел}}-V_{\text{мал}}=V_{\text{цел}}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\right)\). Это ключевой шаг: вместо того чтобы выражать \(H\) через \(h\), мы напрямую используем масштабирование объёма по кубу коэффициента подобия.

Следовательно, отношение искомого объёма усечённого конуса к объёму исходного конуса равно \(\frac{V_{\text{усеч}}}{V_{\text{цел}}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^{3}=\frac{R^{3}-r^{3}}{R^{3}}\). Это выражение показывает, что доля объёма определяется исключительно отношением радиусов, без необходимости знать высоты: удаление верхнего конуса уменьшает объём исходного на куб масштаба \(\frac{r}{R}\). Таким образом, при фиксированных \(R>r\) итоговая доля объёма усечённого конуса монотонно убывает при увеличении \(r\) и стремится к \(1\) при \(r\to 0\), а к \(0\) при \(r\to R\), что согласуется с геометрической интуицией.