ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Ромб со стороной 6 см и углом \(60^\circ\) вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно его стороне. Найдите объём образовавшегося тела.

Рассмотрим ромб со стороной \(6\) и острым углом \(60^\circ\). Диагонали: \(d_1=2\cdot6\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\), \(d_2=2\cdot6\sin30^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6\). Полудлина меньшей диагонали: \(3\).

При вращении вокруг прямой, проходящей через вершину и перпендикулярной стороне, каждый элемент ромба описывает круг с радиусом до \(3\); тело симметрично и получается как совокупность кругов по высоте \(d_1=6\sqrt{3}\), то есть цилиндр с радиусом \(3\) и высотой \(6\sqrt{3}\).

Объём: \(V=\pi r^2 h=\pi\cdot 3^2\cdot 6\sqrt{3}=162\pi\sqrt{3}\,\text{см}^3\).

Пусть дан ромб со стороной \(6\) см и острым углом \(60^\circ\). Для удобства расположим одну сторону горизонтально, а острый угол в левой вершине. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Используем классические формулы диагоналей через сторону и половину угла: \(d_1=2a\cos30^\circ\) и \(d_2=2a\sin30^\circ\), где \(a=6\). Тогда получаем \(d_1=2\cdot6\cdot\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\) и \(d_2=2\cdot6\cdot\sin30^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6\). Диагональ \(d_2\) короче, её половина равна \(3\) см; именно эта половина определит максимальный удалённый от оси участок фигуры при вращении.

Ось вращения проходит через вершину острого угла ромба и перпендикулярна его стороне. Такая ось параллельна более длинной диагонали \(d_1\) и проходит через одну вершину. При вращении плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной одной из её сторон и проходящей через вершину, расстояния точек фигуры до оси сохраняются и образуют окружности. В нашем случае поперечное сечение, перпендикулярное оси, имеет радиусы от \(0\) до максимума, который достигается на середине короткой диагонали, удалённой от вершины на \(3\) см. По длине вдоль оси протяжённость фигуры равна \(d_1=6\sqrt{3}\), так как ось параллельна именно этой диагонали и пересекает ромб от одного крайнего положения до другого без изменения направления; следовательно, высота образующегося тела равна длине длинной диагонали.

Из описанных геометрических соображений тело вращения представляет собой цилиндр: его высота равна \(h=6\sqrt{3}\), а радиус равен \(r=3\). Действительно, при фиксированной позиции вдоль оси каждая точка исходного ромба отстоит от оси на расстояние, не превышающее \(3\), причём множество точек на данном уровне образует окружность радиуса \(r\), а так как этот радиус по высоте не меняется (ромб симметричен относительно оси, перпендикулярной стороне и проходящей через вершину), получаем прямой круговой цилиндр. Тогда объём вычисляется по формуле \(V=\pi r^{2}h\). Подставляя значения, имеем \(V=\pi\cdot3^{2}\cdot6\sqrt{3}=9\pi\cdot6\sqrt{3}=54\pi\sqrt{3}\cdot3=162\pi\sqrt{3}\,\text{см}^{3}\). Таким образом, объём образовавшегося тела равен \(162\pi\sqrt{3}\,\text{см}^{3}\).