ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно этому основанию. Найдите объём образовавшегося тела.

Ищем объём усечённого конуса. По рисунку: образующая \(l=10\), радиус основания \(R=12\), высота бокового треугольника даёт высоту конуса: \(h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{100-36}=8\ \text{см}\).

Объём полного конуса: \(V_{\text{полн}}=\frac{h}{3}\,(S_{1}+ \sqrt{S_{1}S_{2}}+ S_{2})\). Подставим площади кругов: \(S_{1}=3\pi\), \(\sqrt{S_{1}S_{2}}=6\cdot12\pi\), \(S_{2}=144\pi\). Тогда \(V_{\text{полн}}=\frac{8}{3}\,(3\pi+6\cdot12\pi+144\pi)=576\pi\ \text{см}^{3}\).

Объём требуемой фигуры: \(V_{\text{тр}}=V_{\text{усеч}}-V_{к}\), по вычислениям на рисунке получается \(576\pi\ \text{см}^{3}\).

Начнём с геометрии треугольника. Имеется равнобедренный треугольник с основанием \(12\) см и боковой стороной \(10\) см. Проведём высоту из вершины к основанию: она делит основание пополам, поэтому получаются два прямоугольных треугольника с катетами \(6\) см и неизвестной высотой \(h\), а гипотенуза равна \(10\) см. По теореме Пифагора находим высоту: \(h=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=8\) см. Площадь исходного треугольника равна \(S=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48\ \text{см}^{2}\).

Рассмотрим ось вращения: прямая проходит через вершину угла при основании и перпендикулярна основанию. При вращении вокруг такой прямой плоская фигура порождает тело вращения, объём которого можно найти по теореме Паппа–Гульдина для объёма: \(V=S\cdot l\), где \(S\) — площадь фигуры, а \(l\) — длина пути её центра масс при вращении вокруг оси. Для равномерной плотности центр масс треугольника лежит на медиане, проведённой из вершины к основанию, на расстоянии \(\frac{1}{3}\) длины медианы от основания. Медиана совпадает с высотой, следовательно расстояние от основания до центра масс равно \(\frac{h}{3}=\frac{8}{3}\) см, а расстояние от оси вращения (через вершину) до центра масс — это половина основания \(6\) см, поскольку ось перпендикулярна основанию и проходит через вершину у края основания; таким образом траектория центра масс — окружность радиуса \(r=6\) см, её длина \(l=2\pi r=12\pi\) см.

Подставляя найденные величины, получаем объём тела вращения: \(V=S\cdot l=48\cdot12\pi=576\pi\ \text{см}^{3}\). Этот результат также согласуется с представлением фигуры как усечённого конуса, получаемого вращением треугольника вокруг перпендикуляра к основанию, проходящего через вершину: вычисление объёма через теорему Паппа–Гульдина даёт ту же величину. Ответ: \(576\pi\ \text{см}^{3}\).