ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Металлический шар радиуса 15 см расплавили и из полученного металла отлили несколько шаров, радиусы которых равны 3 см. Сколько отлили таких шаров? Потерями металла при переплавке можно пренебречь.

Объём шара пропорционален кубу радиуса: \(V \propto r^{3}\). Тогда отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\left(\frac{15}{3}\right)^{3}=5^{3}=125\).

Ответ: 125 шаров.

Объём шара определяется формулой \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Эта зависимость показывает, что при изменении радиуса шара его объём меняется как куб радиуса. Следовательно, если из одного большого шара радиуса \(r_{1}=15\) см изготавливают много одинаковых маленьких шаров радиуса \(r_{2}=3\) см, то отношение объёмов большого шара к объёму одного маленького шара равно отношению кубов их радиусов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\). Здесь множитель \(\frac{4}{3}\pi\) сокращается, потому что он одинаков для обоих шаров, а значит, важным остаётся только отношение \(r_{1}^{3}\) к \(r_{2}^{3}\).

Подставим численные значения радиусов: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{15}{3}\right)^{3}\). Сначала упростим дробь: \(\frac{15}{3}=5\). Затем возведём полученное число в куб: \(5^{3}=125\). Это число показывает, во сколько раз объём большого шара больше объёма одного маленького. Так как потерь металла при переплавке нет, весь объём большого шара полностью идёт на изготовление маленьких шаров, и количество таких шаров равно именно этому отношению объёмов.

Итак, из одного металлического шара радиуса \(15\) см можно отлить \(125\) одинаковых шаров радиуса \(3\) см: \(\text{количество}=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\left(\frac{15}{3}\right)^{3}=125\). Ответ: 125 шаров.