ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Три металлических шара, радиусы которых равны 3 см, 4 см и 5 см, расплавили и из полученного металла отлили один шар. Каков радиус полученного шара? Потерями металла при переплавке можно пренебречь.

Объемы суммируются: \(V=\frac{4}{3}\pi(r_1^3+r_2^3+r_3^3)=\frac{4}{3}\pi R^3\).

Следовательно, \(R^3=r_1^3+r_2^3+r_3^3=3^3+4^3+5^3=27+64+125=216\).

Отсюда \(R=\sqrt[3]{216}=6\ \text{см}\).

Объем каждого шара определяется формулой для объема сферы: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\). При переплавке трех шаров металл не теряется, поэтому суммарный объем исходных шаров равен объему нового шара с радиусом \(R\). Значит, складываем объемы: \(V_{\text{сум}}=\frac{4}{3}\pi r_1^3+\frac{4}{3}\pi r_2^3+\frac{4}{3}\pi r_3^3\). Этот же объем должен быть равен объему единого шара: \(\frac{4}{3}\pi R^3\). Так как множитель \(\frac{4}{3}\pi\) общий, его можно сократить из обеих частей равенства, получаем основное соотношение для радиуса объединенного шара: \(R^3=r_1^3+r_2^3+r_3^3\).

Подставим конкретные радиусы: \(r_1=3\ \text{см}\), \(r_2=4\ \text{см}\), \(r_3=5\ \text{см}\). Тогда \(R^3=3^3+4^3+5^3\). Вычислим каждую степень: \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\). Складываем: \(27+64+125=216\). Следовательно, значение \(R^3\) равно \(216\), то есть куб радиуса нового шара равен сумме кубов радиусов исходных шаров, что и отражает физический смысл задачи: равенство объемов при сохранении массы и плотности.

Чтобы найти \(R\), берём кубический корень из полученного числа: \(R=\sqrt[3]{216}\). Поскольку \(216=6^3\), кубический корень легко находится: \(R=6\ \text{см}\). Это означает, что единый шар, полученный из переплавки трех шаров с радиусами \(3\ \text{см}\), \(4\ \text{см}\) и \(5\ \text{см}\), будет иметь радиус \(6\ \text{см}\).