ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, а радиус основания конуса равен \(R\). Найдите объём конуса.

Первое. Объём конуса задаётся формулой \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\), где \(r=R\).

Второе. Осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной \(2R\), значит высота конуса равна высоте этого треугольника: \(h=\sqrt{(2R)^{2}-R^{2}}=R\sqrt{3}\).

Третье. Подставляя, получаем \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot R\sqrt{3}=\frac{\pi R^{3}\sqrt{3}}{3}\).

Сначала используем общий принцип: объём любого конуса выражается через радиус основания и высоту как \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). В нашей задаче радиус основания конуса дан и равен \(r=R\). Поэтому достаточно аккуратно найти высоту конуса \(h\), после чего подставить её в формулу объёма. Ключевое наблюдение: осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, то есть треугольником, проходящим через вершину конуса и диаметр основания, причём все его стороны равны. Диаметр основания равен \(2R\), следовательно, сторона равностороннего треугольника равна \(2R\).

Рассмотрим геометрию осевого сечения подробнее. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают, а точка пересечения этих линий является центром и делит высоту в отношении \(2:1\). В нашем конусе эта высота совпадает с осью конуса, а точка пересечения соответствует центру основания. Поскольку основание в сечении — это отрезок длины \(2R\) (диаметр), его середина отстоит от края на \(R\). Тогда высота равностороннего треугольника с стороной \(2R\) может быть найдена по теореме Пифагора в одном из двух равных прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник: половина стороны равна \(R\), а высота является искомой \(h\). Гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна стороне исходного треугольника, то есть \(2R\). Поэтому получаем \(h=\sqrt{(2R)^{2}-R^{2}}=\sqrt{4R^{2}-R^{2}}=R\sqrt{3}\). Это также согласуется с известной формулой высоты равностороннего треугольника \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\) сторона, где сторона \(2R\), что даёт \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2R=R\sqrt{3}\).

После того как высота найдена, вычислим объём конуса подстановкой в исходную формулу. Подставляем \(r=R\) и \(h=R\sqrt{3}\) в \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\): получаем \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot R\sqrt{3}=\frac{\pi R^{3}\sqrt{3}}{3}\). Итоговый ответ показывает, что объём конуса полностью определяется радиусом основания при условии равносторонности осевого сечения: \(V=\frac{\pi R^{3}\sqrt{3}}{3}\).