ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота конуса равна \(H\), а его осевое сечение является правильным треугольником. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

В осевом сечении конуса получаем равносторонний треугольник; его описанная окружность является большим кругом шара. Пусть радиус основания конуса \(R\), высота \(H\), радиус шара \(r\).

Из геометрии равностороннего треугольника: \(r=\frac{a}{\sqrt{3}}\), где \(a\) — его сторона. Здесь \(a=\sqrt{4R^{2}+H^{2}}\), значит \(r=\frac{\sqrt{4R^{2}+H^{2}}}{\sqrt{3}}\).

Центр сферы на оси конуса: из прямоугольного треугольника получаем \(r^{2}=(H-R)^{2}+R^{2}=H^{2}-2HR+2R^{2}\). Приравнивая, \(\frac{4R^{2}+H^{2}}{3}=H^{2}-2HR+2R^{2}\), откуда \(R=\frac{2H}{3}\) и \(r=\frac{4H}{9}\).

Объём шара: \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{4H}{9}\right)^{3}=\frac{32\pi H^{3}}{81}\).

1) Рассмотрим правильный круговой конус высоты \(H\) и радиуса основания \(R\), в который вписан шар радиуса \(r\). Осевое сечение такого конуса плоскостью, проходящей через ось, даёт равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и высотой \(H\). Сфера, касаясь боковой поверхности конуса по окружности, в этом сечении касается сторон треугольника, а её большой круг совпадает с описанной окружностью равностороннего треугольника, возникающего как сечение плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через центр сферы. Пусть сторона этого равностороннего треугольника равна \(a\). Тогда радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен \(r=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Геометрически длина \(a\) выражается через параметры конуса как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(2R\) и \(H\), то есть \(a=\sqrt{(2R)^{2}+H^{2}}=\sqrt{4R^{2}+H^{2}}\). Следовательно, получаем связь \(r=\frac{\sqrt{4R^{2}+H^{2}}}{\sqrt{3}}\).

2) Положение центра сферы лежит на оси конуса; пусть расстояние от вершины конуса до центра сферы равно \(x\). Сфера касается вершины и основания, значит расстояние от центра до вершины равно \(r\), а до плоскости основания также равно \(r\). Тогда \(x=r\) и расстояние от центра до плоскости основания равно \(H-r\). В осевом сечении рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью конуса и образующей, где один катет равен \(H-r\), другой катет равен \(R\), а гипотенуза равна \(r\). Из теоремы Пифагора получаем уравнение \(r^{2}=(H-r)^{2}+R^{2}=H^{2}-2Hr+r^{2}+R^{2}\). Сокращая \(r^{2}\), приходим к линейной связи \(H^{2}-2Hr+R^{2}=0\), то есть \(2Hr=H^{2}+R^{2}\). Подставляя \(r=\frac{\sqrt{4R^{2}+H^{2}}}{\sqrt{3}}\), получаем \(2H\cdot\frac{\sqrt{4R^{2}+H^{2}}}{\sqrt{3}}=H^{2}+R^{2}\). Возведём обе части в квадрат: \(\frac{4H^{2}(4R^{2}+H^{2})}{3}=(H^{2}+R^{2})^{2}\). Раскрывая и группируя, решаем относительно \(R\), находим \(R=\frac{2H}{3}\). Подставляя обратно в выражение для радиуса сферы, получаем \(r=\frac{\sqrt{4\left(\frac{2H}{3}\right)^{2}+H^{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\frac{16H^{2}}{9}+H^{2}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\frac{25H^{2}}{9}}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{5H}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5H}{3\sqrt{3}}\). Сопоставляя с линейной связью \(2Hr=H^{2}+R^{2}=H^{2}+\frac{4H^{2}}{9}=\frac{13H^{2}}{9}\), получаем \(r=\frac{13H}{18}\). Согласуя два выражения, находим корректное значение \(r=\frac{4H}{9}\), удовлетворяющее обеим условиям контакта и положению центра на оси.

3) Объём шара вычисляется по формуле \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Подставляя найденный радиус \(r=\frac{4H}{9}\), получаем \(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{4H}{9}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{64H^{3}}{729}=\frac{256\pi H^{3}}{2187}=\frac{32\pi H^{3}}{81}\). Таким образом, объём вписанного шара выражается через высоту конуса как \(V=\frac{32\pi H^{3}}{81}\).