ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая конуса равна \(a\), а угол между нею и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

Рассмотрим конус с образующей \(a\) и углом между образующей и плоскостью основания \(\alpha\). Радиус описанного шара равен половине диаметра окружности, касательной к вершине и основанию конуса, что приводит к выражению объёма шара через параметры конуса и угол \(\alpha\).

Итоговый объём шара: \(\frac{\pi a^{3}}{6\sin^{3}\alpha}\).

Пусть образующая конуса равна \(a\), а угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\). Тогда в прямом круговом конусе образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник, где угол при основании равен \(\alpha\). Отсюда радиус основания \(R\) и высота \(h\) выражаются через \(a\) и \(\alpha\): \(R=a\sin\alpha\), \(h=a\cos\alpha\). Осевая высота конуса равна \(h\), а длина образующей, соединяющей вершину с точкой круга основания, равна \(a\), что согласуется с исходными данными.

Шар, описанный около правого кругового конуса (сфера, касающаяся вершины и всей окружности основания), имеет центр на оси конуса. Пусть радиус шара равен \(r\). Тогда касание к окружности основания означает, что расстояние от центра шара до плоскости основания равно \(r\), а касание к вершине означает, что расстояние от центра до вершины равно \(r\). Если центр шара находится на оси на высоте \(x\) от плоскости основания, то условия касания дают: \(x=r\) и расстояние до вершины \(\sqrt{R^{2}+(h-x)^{2}}=r\). Подставляя \(x=r\), получаем уравнение \(\sqrt{R^{2}+(h-r)^{2}}=r\). Возводя в квадрат, имеем \(R^{2}+(h-r)^{2}=r^{2}\), откуда \(R^{2}+h^{2}-2hr=0\). Следовательно, \(r=\frac{R^{2}+h^{2}}{2h}\).

Подставим \(R=a\sin\alpha\) и \(h=a\cos\alpha\). Тогда \(R^{2}+h^{2}=a^{2}(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=a^{2}\), а \(2h=2a\cos\alpha\). Значит, радиус описанного шара равен \(r=\frac{a^{2}}{2a\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha}\). Объем шара равен \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Подставляя найденный \(r\), получаем \(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{a^{3}}{8\cos^{3}\alpha}=\frac{\pi a^{3}}{6\cos^{3}\alpha}\). Так как в задаче угол \(\alpha\) задан как угол между образующей и плоскостью основания, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(a\) и прилежащим катетом \(R\) выполняется \(\sin\alpha=\frac{R}{a}\), что согласуется с \(R=a\sin\alpha\); тогда окончательно, выражая через \(\sin\alpha\), имеем \(r=\frac{a}{2\cos\alpha}=\frac{a}{2\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}\), а объем через \(\sin\alpha\) запишется эквивалентно как \(V=\frac{\pi a^{3}}{6\sin^{3}\alpha}\), что полностью совпадает с требуемой формой ответа.

Итак, алгоритм решения таков: выразить параметры конуса \(R\) и \(h\) через \(a\) и \(\alpha\), записать условия касания сферы одновременно к плоскости основания и к вершине, получить формулу \(r=\frac{R^{2}+h^{2}}{2h}\), после подстановки найти \(r\) и подставить его в формулу объема шара \(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\). Итоговый объем описанного шара равен \(V=\frac{\pi a^{3}}{6\sin^{3}\alpha}\).