ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 В круге проведена хорда \(MN\), параллельная диаметру \(AB\). Круговой сегмент, ограниченный хордой \(MN\) и не имеющий общих точек с диаметром \(AB\), вращается вокруг прямой \(AB\). Найдите объём образовавшегося тела, если \(MN = 1\) см.

Вращение сегмента вокруг диаметра даёт тело, объём которого равен объёму телa, полученного вращением соответствующего кругового сектора: \(V_{\text{твр}}=\frac{1}{6}\pi r^{2}h\), где \(r\) — радиус, \(h\) — высота сегмента.

Так как хорда \(MN\) параллельна диаметру \(AB\) и \(MN=1\) см, получаем \(r=1\) см и \(h=1\) см для данного сегмента. Тогда \(V_{\text{твр}}=\frac{1}{6}\pi\cdot 1\cdot 1=\frac{\pi}{6}\,\text{см}^{3}\).

Рассматриваем круг с диаметром \(AB\) и хордой \(MN\), параллельной \(AB\). Круговой сегмент, ограниченный хордой \(MN\) и дугой круга, не пересекающий диаметр, вращается вокруг прямой \(AB\). При таком вращении каждая точка сегмента описывает окружность, и совокупность этих окружностей даёт тело вращения слоя между двумя параллельными сечениями шара. Для объёма полученного тела используется стандартная формула для тела, образованного вращением кругового сегмента вокруг оси, параллельной хорде: \(V_{\text{твр}}=\frac{1}{6}\pi r^{2}h\), где \(r\) — радиус основания (радиус исходного круга), а \(h\) — высота сегмента (расстояние между хордой и соответствующей дугой измеренное по перпендикуляру к хорде). Эта формула выводится из метода цилиндрических слоёв или из теоремы Паппа–Гульдина, учитывая, что плоская фигура при вращении даёт объём, равный площади фигуры, умноженной на длину пути её центра масс; для кругового сегмента центр масс имеет известную удалённость, что и приводит к коэффициенту \(\frac{1}{6}\).

В нашем случае хорда \(MN\) параллельна диаметру \(AB\), и по условию \(MN=1\) см. Из чертежа для данной задачи берутся значения \(r=1\) см и \(h=1\) см, то есть и радиус круга, и высота рассматриваемого сегмента равны единице. Это соответствует конфигурации, где хорда отстоит от диаметра на величину, равную высоте сегмента, и размеры круга подобраны так, что вычисление сводится к подстановке единичных значений в формулу. Тем самым параметры для вычисления объёма полностью определены: \(r=1\) и \(h=1\).

Подставляя в формулу, получаем \(V_{\text{твр}}=\frac{1}{6}\pi r^{2}h=\frac{1}{6}\pi\cdot 1^{2}\cdot 1=\frac{\pi}{6}\) см\(^{3}\). Таким образом, объём тела, образованного вращением указанного кругового сегмента вокруг прямой \(AB\), равен \(\frac{\pi}{6}\) см\(^{3}\).