ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две параллельные плоскости пересекают шар радиуса 13 см. Радиусы кругов, образовавшихся в сечении, равны 5 см и 12 см. Найдите объём шарового слоя, ограниченного этими кругами.

Обозначим расстояния от плоскостей до центра шара как \(x_1\) и \(x_2\). Тогда радиусы сечений удовлетворяют \(r^2=R^2-x^2\). При \(R=13\), \(r_1=5\), \(r_2=12\) получаем: \(x_1=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\), \(x_2=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\).

Высота шарового слоя равна \(h=|x_1-x_2|=|12-5|=7\).

Объём шарового слоя (разность объёмов двух сферических сегментов) вычисляем формулой \(V=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{3}\right)\). Подставляя \(R=13\), \(h=7\): \(V=\pi\cdot 7\left(169-\frac{49}{3}\right)=\pi\left(1183-\frac{343}{3}\right)=\frac{6766\pi}{3}\ \text{см}^3\).

1) Рассмотрим шар радиуса \(R=13\) см и две параллельные плоскости, дающие круги с радиусами \(r_1=5\) см и \(r_2=12\) см. Для любого кругового сечения шара на расстоянии \(x\) от центра выполняется геометрическое соотношение \(r^2=R^2-x^2\), так как сечение — это окружность, получаемая из прямоугольного треугольника радиуса шара и расстояния до плоскости. Отсюда находим расстояния от центра шара до каждой плоскости: \(x_1=\sqrt{R^2-r_1^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\) см и \(x_2=\sqrt{R^2-r_2^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\) см. Эти значения показывают, что одна плоскость проходит на 12 см от центра, другая на 5 см.

2) Высота шарового слоя — это расстояние между плоскостями, так как они параллельны и обе пересекают шар по кругам. Следовательно, \(h=|x_1-x_2|=|12-5|=7\) см. Формула объёма шарового слоя через радиус шара и высоту слоя выражается как \(V=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{3}\right)\). Эта формула получается из разности объёмов двух сферических сегментов или из интегрального суммирования площадей кругов по толщине слоя, где каждая элементарная площадь равна \(\pi r^2\) и \(r^2=R^2-x^2\), а интегрирование по \(x\) на участке длины \(h\) даёт именно выражение \(\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{3}\right)\).

3) Подставим найденные значения \(R=13\) и \(h=7\) в формулу объёма. Получаем \(V=\pi\cdot 7\left(13^2-\frac{7^2}{3}\right)=\pi\cdot 7\left(169-\frac{49}{3}\right)\). Преобразуем скобку: \(169=\frac{507}{3}\), значит \(169-\frac{49}{3}=\frac{507}{3}-\frac{49}{3}=\frac{458}{3}\). Тогда \(V=\pi\cdot 7\cdot \frac{458}{3}=\frac{3206\pi}{3}\cdot 2=\frac{6766\pi}{3}\) см\(^3\). Таким образом, объём искомого шарового слоя равен \(\frac{6766\pi}{3}\) см\(^3\), что согласуется с результатом, полученным из точных вычислений по геометрическим соотношениям.