ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объём правильной треугольной призмы равен \(V\). Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Обозначим объёмы призмы и вписанного цилиндра через \(V_1\) и \(V_2\). В основании призмы — правильный треугольник со стороной \(a\), площадь основания \(S_\triangle=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). Вписанный цилиндр имеет основание — окружность, вписанную в треугольник: радиус \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\), площадь круга \(S_\circ=\pi r^2=\pi\frac{a^2}{12}\). Высоты совпадают, поэтому \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_\triangle}{S_\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\pi\frac{a^2}{12}}=\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\).

Следовательно, \(V_2=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}V_1=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V\).

1) Рассмотрим правильную треугольную призму с объёмом \(V\). Её высота совпадает с высотой вписанного цилиндра, так как цилиндр опирается на ту же плоскость основания и касается граней призмы. Поэтому отношение объёмов призмы и цилиндра равно отношению площадей их оснований. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной \(a\). Его площадь выражается через стандартную формулу для правильного треугольника: \(S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\). Это значение будет числителем при вычислении отношения объёмов, так как объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

2) Основание вписанного цилиндра — окружность, вписанная в правильный треугольник. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной \(a\) равен \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Площадь круга выражается как \(S_{\circ}=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}=\pi\frac{a^{2}\cdot 3}{36}=\pi\frac{a^{2}}{12}\). Поскольку высоты призмы и цилиндра равны, отношение объёмов сводится к отношению площадей оснований: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{S_{\triangle}}{S_{\circ}}\).

3) Подставим найденные площади в отношение: \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}}{\pi\frac{a^{2}}{12}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\pi\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{12}{\pi}=\frac{12\sqrt{3}}{4\pi}=\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\). Отсюда выражаем объём цилиндра через объём призмы: \(V_{2}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}V_{1}\). Переобозначая \(V_{1}=V\), получаем искомый ответ: \(V_{2}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V\).