ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Обозначим через \(b\) боковое ребро пирамиды и через \(\alpha\) угол между ребром и плоскостью основания. Описанный конус имеет тот же вершину и ось, проходящую через вершину и центр основания пирамиды, а его образующая равна \(b\).

Высота конуса: \(h=b\sin\alpha\), так как \(SO=b\sin\alpha\), где \(O\) — центр основания. Радиус основания конуса: \(R=b\cos\alpha\), поскольку \(CO=b\cos\alpha\), где \(C\) — середина бокового ребра в проекции на основание.

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (b\cos\alpha)^{2}(b\sin\alpha)=\frac{1}{3}\pi b^{3}\sin\alpha\cos^{2}\alpha\).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду: её боковое ребро равно \(b\), а угол между этим ребром и плоскостью основания равен \(\alpha\). Описанный около пирамиды конус имеет общую вершину с пирамидой, ось проходит через вершину и центр квадрата основания, а образующая конуса совпадает по длине с боковым ребром пирамиды, то есть равна \(b\). Тогда высота конуса есть проекция ребра на ось, перпендикулярную основанию: по определению угла между ребром и плоскостью основания получаем \(h=SO=b\sin\alpha\). Здесь \(SO\) — расстояние от вершины до центра основания, выступающее высотой конуса.

2. Радиус основания конуса равен проекции того же бокового ребра на плоскость основания, то есть это катет в треугольнике с гипотенузой \(b\) и углом \(\alpha\) при основании. Следовательно, \(R=CO=b\cos\alpha\), где \(CO\) — расстояние от центра основания до точки касания образующей с окружностью, описанной вокруг квадрата основания. Таким образом, параметры описанного конуса выражаются через \(b\) и \(\alpha\): \(h=b\sin\alpha\) и \(R=b\cos\alpha\), а образующая равна \(b\).

3. Объём конуса вычисляется по формуле \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Подставляя найденные выражения \(R=b\cos\alpha\) и \(h=b\sin\alpha\), получаем \(V=\frac{1}{3}\pi (b\cos\alpha)^{2}(b\sin\alpha)=\frac{1}{3}\pi b^{3}\sin\alpha\cos^{2}\alpha\). Это и есть искомый объём конуса, описанного около данной правильной четырёхугольной пирамиды, что полностью согласуется с расчётами по чертежу: \(SO=b\sin\alpha\), \(CO=b\cos\alpha\), итог \(V=\frac{1}{3}\pi b^{3}\sin\alpha\cos^{2}\alpha\).