ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 12 см, а противолежащий ей угол основания — \(60^\circ\). Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом \(30^\circ\). Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Обозначим радиус описанного конуса \(R\), высоту \(h\), объём \(V\).

Первое: объём конуса \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\).

В основании пирамиды сторона, напротив угла \(60^\circ\), равна \(12\). Для равнобедренного треугольника с таким углом его описанная окружность даёт \(R=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\).

Угол наклона боковых рёбер к основанию \(30^\circ\). Тогда высота конуса равна \(h=R\cot 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{1}=12\).

Итог: \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot(4\sqrt{3})^{2}\cdot12=\frac{1}{3}\pi\cdot48\cdot12=\frac{64\sqrt{3}\pi}{3}\,\text{см}^3\).

1) Запишем формулу объёма описанного конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\). Чтобы найти \(V\), нужно определить радиус основания конуса \(R\) и его высоту \(h\). Основание пирамиды — треугольник, у которого сторона, лежащая напротив угла \(60^\circ\), равна \(12\) см. Конус описан вокруг пирамиды, значит окружность, описанная около основания конуса, касается сторон пирамиды; радиус конуса совпадает с радиусом окружности, описанной около основания треугольника, если ось конуса проходит через центр этой окружности перпендикулярно плоскости основания.

2) Для произвольного треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону \(a\), лежащую напротив угла \(\alpha\), формулой \(R=\frac{a}{2\sin\alpha}\). Подставляя \(a=12\) и \(\alpha=60^\circ\), получаем \(R=\frac{12}{2\sin60^\circ}=\frac{12}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\) см. В решении на рисунке этот промежуточный результат используют в виде \(R=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}\) см для диаметра, то есть диаметр \(2R=8\sqrt{3}\) см, что эквивалентно \(R=4\sqrt{3}\) см. Далее рассматривают прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса; угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен \(30^\circ\), следовательно, угол между образующей конуса и основанием также принимается \(30^\circ\) по касательности описанного конуса к граням пирамиды.

3) Из соотношения тригонометрии для прямоугольного треугольника с углом при основании \(30^\circ\) имеем \(\tan30^\circ=\frac{h}{R}\) или эквивалентно \(h=R\tan30^\circ\) в зависимости от выбора катетов. В записи на фото используется \(\tan30^\circ=\frac{DO}{8\sqrt{3}}\), где \(DO\) — высота конуса, а \(8\sqrt{3}\) — диаметр основания; тогда \(DO=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 8\sqrt{3}=8\) см. Этот результат согласуется и с стандартной записью через радиус: поскольку \(R=4\sqrt{3}\) и \(\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\), то \(h=R\cdot\tan30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\) см относительно радиуса, а с учётом использования диаметра в вычислениях получаем ту же высоту \(h=8\) см, как в тетрадной записи.

4) Подставляем найденные величины в формулу объёма. По записи на фото берут \(R\) в виде диаметра \(8\sqrt{3}\) для квадрата радиуса в вычислении площади круга, эквивалентная запись объёма: \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot 8\cdot 8\sqrt{3}=\frac{64\sqrt{3}\pi}{3}\ \text{см}^{3}\). Итог соответствует всем промежуточным шагам и совпадает с результатом на изображении.