ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду, если угол между его образующей и плоскостью основания пирамиды равен \(\beta\).

Основание пирамиды — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Площадь основания равна \(S = a^2 \sin \alpha\).

Обозначим высоту пирамиды через \(h\). Конус вписан в пирамиду так, что угол между его образующей и плоскостью основания равен \(\beta\).

Объем конуса вычисляется по формуле \(V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 H\), где \(r\) — радиус основания конуса, \(H\) — высота конуса.

Радиус основания конуса равен \(r = \frac{a \sin \alpha}{2}\), так как основание ромба вписано в окружность с диаметром, равным стороне ромба.

Высота конуса связана с радиусом и углом \(\beta\) через тангенс: \(H = r \tan \beta\).

Подставляем:

\(V_k = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sin \alpha}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a \sin \alpha}{2} \tan \beta \right) = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \sin^2 \alpha}{4} \cdot \frac{a \sin \alpha}{2} \tan \beta\).

Упрощая:

\(V_k = \frac{\pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta}{24}\).

Ответ:

\(V_k = \frac{\pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta}{24}\).

1. Основание пирамиды — ромб с длиной стороны \(a\) и углом \(\alpha\). Площадь ромба вычисляется как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами, то есть \(S = a^2 \sin \alpha\). Это важно, так как площадь основания понадобится для определения размеров конуса, вписанного в эту пирамиду.

2. Рассмотрим конус, вписанный в пирамиду. Его объем определяется формулой \(V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 H\), где \(r\) — радиус основания конуса, а \(H\) — высота конуса. Поскольку конус вписан в пирамиду с основанием в виде ромба, радиус основания конуса равен половине длины диагонали ромба, которая связана со стороной и углом. Однако в задаче радиус берется как \(r = \frac{a \sin \alpha}{2}\), что соответствует вписанному кругу в ромб, ориентированному по стороне и углу \(\alpha\).

3. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\beta\). Этот угол позволяет связать высоту конуса с радиусом основания через тангенс: высота \(H = r \tan \beta\). Подставляя это в формулу объема, получаем:

\(V_k = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sin \alpha}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{a \sin \alpha}{2} \tan \beta\right)\).

Раскрывая скобки и упрощая выражение:

\(V_k = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \sin^2 \alpha}{4} \cdot \frac{a \sin \alpha \tan \beta}{2} = \frac{\pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta}{24}\).

Таким образом, объем конуса, вписанного в данную пирамиду, равен

\(V_k = \frac{\pi a^3 \sin^3 \alpha \tan \beta}{24}\).