ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём конуса, высота которого равна 4 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен \(30^\circ\).

Решение: объём конуса \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\).

Так как угол между образующей и плоскостью основания \(30^\circ\), то в прямоугольном треугольнике с высотой \(h=4\) и радиусом основания \(r\) имеем \(\tan 30^\circ=\frac{h}{r}\). Следовательно, \(r=\frac{h}{\tan 30^\circ}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}\,\text{см}\).

Тогда \(V=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^{2}\cdot 4=\frac{1}{3}\pi\cdot 48\cdot 4=64\pi\,\text{см}^{3}\).

1. Используем формулу объёма конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Нам известна высота \(h=4\) см, но неизвестен радиус основания \(r\). Чтобы найти \(r\), рассмотрим геометрию конуса: образующая образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Если провести высоту конуса к центру основания, то образуется прямоугольный треугольник, в котором один катет равен радиусу основания \(r\), другой катет равен высоте \(h=4\), а угол у основания равен \(30^\circ\). В этом треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла \(30^\circ\), то есть \(\tan 30^\circ=\frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}=\frac{h}{r}\).

2. Подставим значения: \(\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому из равенства \(\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{r}\) получаем \(r=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}\) см. Здесь использовано свойство дроби: деление на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) эквивалентно умножению на её обратную \(\frac{3}{\sqrt{3}}\), что упрощается до \(\sqrt{3}\). Таким образом, радиус основания найден через связь угла \(30^\circ\) и соотношения катетов в прямоугольном треугольнике, возникающем из разреза конуса плоскостью, проходящей через ось.

3. Теперь вычислим объём: \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^{2}\cdot 4\). Сначала найдём квадрат радиуса: \((4\sqrt{3})^{2}=16\cdot 3=48\). Подставляя, получаем \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot 48\cdot 4\). Перемножая, имеем \(48\cdot 4=192\), а затем делим на 3: \(\frac{192}{3}=64\). Следовательно, итоговый объём равен \(V=64\pi\) см\(^{3}\).