ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(60^\circ\). Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Периметр прямоугольного треугольника-основания: \(p=\frac{6+8+10}{2}=12\). Радиус вписанной окружности основания конуса равен радиусу вписанной окружности треугольника: \(r=\frac{S_{\triangle}}{p}=\frac{\frac{1}{2}\cdot6\cdot8}{12}=2\).

Высота конуса проходит по высоте пирамиды и образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\); тогда в сечении через центр вписанной окружности имеем \(\tan 60^\circ=\frac{h}{r}\), откуда \(h=r\tan 60^\circ=2\sqrt{3}\).

Объём конуса: \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot 2^{2}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}\ \text{см}^{3}\).

1. Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами \(6\) и \(8\), гипотенуза равна \(10\). Полупериметр этого треугольника равен \(p=\frac{6+8+10}{2}=12\). Его площадь равна \(S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\). Радиус вписанной окружности треугольника находим по формуле \(r=\frac{S_{\triangle}}{p}=\frac{24}{12}=2\). Эта окружность является основанием вписанного конуса, поэтому радиус основания конуса равен \(r=2\).

2. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(60^\circ\). Это означает, что если провести сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и центр вписанной окружности основания, то высота конуса будет образовывать угол \(60^\circ\) с плоскостью основания. В таком сечении получаем прямоугольный треугольник с противолежащим катетом, равным высоте конуса \(h\), и прилежащим катетом, равным радиусу основания \(r\). Тогда \(\tan 60^\circ=\frac{h}{r}\), откуда \(h=r\tan 60^\circ=2\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).

3. Объём конуса рассчитывается по формуле \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Подставляя найденные значения \(r=2\) и \(h=2\sqrt{3}\), получаем \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot2^{2}\cdot2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot4\cdot2\sqrt{3}=\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}\ \text{см}^{3}\). Таким образом, объём вписанного в данную пирамиду конуса равен \(\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}\ \text{см}^{3}\).